Theorem brofs2 32184

Description: Change some conditions for outer five segment predicate. (Contributed by Scott Fenton, 6-Oct-2013.)

Assertion

Ref

Expression

brofs2

|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) )

Proof of Theorem brofs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brofs 32112	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) )
2		simpr1l 1118	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> B Btwn <. A , C >. )
3		simpr2l 1120	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. E , F >. )
4		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) )
5		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
6	4, 5	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
7	6	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) ) )
8		simp11 1091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
9		simp12 1092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
10		simp13 1093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
11		simp21 1094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
12		simp23 1096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
13		simp31 1097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
14		simp32 1098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
15		cgrextend 32115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. ) )
16	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	syl133anc 1349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. ) )
17	7, 16	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. ) )
18	17	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. )
19		simpr2r 1121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
20	3, 18, 19	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
21	20	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
22		brcgr3 32153	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. <-> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
23	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 22	syl133anc 1349	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. <-> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
24	21, 23	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. ) )
25	24	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. )
26		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
27	2, 25, 26	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
28		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> B Btwn <. A , C >. )
29		3simpa 1058	. . . . . . 7 |- ( ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. ) )
30		btwnxfr 32163	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. ) -> F Btwn <. E , G >. ) )
31	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 30	syl133anc 1349	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. ) -> F Btwn <. E , G >. ) )
32	29, 31	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) -> F Btwn <. E , G >. ) )
33	32	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> F Btwn <. E , G >. )
34	28, 33	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) )
35		3simpb 1059	. . . . . . 7 |- ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
36	23, 35	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
37	36	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
38	37	3ad2antr2 1227	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
39		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
40	34, 38, 39	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
41	27, 40	impbida 877	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) <-> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) )
42	1, 41	bitrd 268	1 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , <. B , C >. >.Cgr3 <. E , <. F , G >. >. /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770   OuterFiveSeg cofs 32089  Cgr3ccgr3 32143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-ofs 32090  df-ifs 32147  df-cgr3 32148

This theorem is referenced by:  fscgr  32187  btwnconn1lem4  32197  btwnconn1lem8  32201  btwnconn1lem11  32204