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Theorem caubnd 14098

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cau3.1

**Assertion**
Ref	Expression
caubnd	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem caubnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 14018	. . . 4
2	1	ralimi 2952	. . 3
3		cau3.1	. . . . . . 7
4	3	r19.29uz 14090	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	4	ex 450	. . . . 5 $/\$
6	5	ralimdv 2963	. . . 4 $/\$
7	3	caubnd2 14097	. . . 4 $/\$
8	6, 7	syl6 35	. . 3
9		fzssuz 12382	. . . . . . . 8
10	9, 3	sseqtr4i 3638	. . . . . . 7
11		ssralv 3666	. . . . . . 7
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6
13		fzfi 12771	. . . . . . . 8
14		fimaxre3 10970	. . . . . . . 8 $/\$
15	13, 14	mpan 706	. . . . . . 7
16		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
18		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
20	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
21		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
22	20, 21	mpd3an3 1425	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
23	19, 22	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
24	23	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12
25	24	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . 11
26	25	impcom 446	. . . . . . . . . 10 $/\$
27		ralim 2948	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
29		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
30	29	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
31	30	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 $/\$
32	17, 28, 31	syl6an 568	. . . . . . . 8 $/\$
33	32	rexlimdva 3031	. . . . . . 7
34	15, 33	mpd 15	. . . . . 6
35	12, 34	syl 17	. . . . 5
36		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
37	36	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
39		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
40		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
44	38, 39, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
45	37, 44	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
46		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
47	46	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
48		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
49		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
50	38, 48, 42, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
51	47, 50	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
52	45, 51	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
53	52	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
54	53	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
55		ralim 2948	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
56	54, 55	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
57		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13
61	41, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62	56, 61	syl6d 75	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
63		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64	3, 63	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65	64	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66	64	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67		uztric 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
68	65, 66, 67	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
69		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
70	69, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
71		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
72	71	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
74	73	orbi1d 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$ $\/$
75	68, 74	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
77		pm3.48 878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $\/$
78	76, 77	syl9 77	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$
79	78	alimdv 1845	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
80		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	80, 81	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
83		19.26 1798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
84	82, 83	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
85		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
86	79, 84, 85	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
87	86	3impib 1262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
88	87	imim1i 63	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
89	88	3expd 1284	. . . . . . . . . . 11 $\/$
90	62, 89	syl6 35	. . . . . . . . . 10 $/\$
91	90	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$
92	91	expimpd 629	. . . . . . . 8 $/\$
93	92	com3r 87	. . . . . . 7 $/\$
94	93	com34 91	. . . . . 6 $/\$
95	94	rexlimdv 3030	. . . . 5 $/\$
96	35, 95	mpd 15	. . . 4 $/\$
97	96	rexlimdvv 3037	. . 3
98	2, 8, 97	sylsyld 61	. 2
99	98	imp 445	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cabs 13974

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: climbdd 14402

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