Theorem caucvgrlem2 14405

Description: Lemma for caucvgr 14406. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	|- ( ph -> A C_ RR )
caucvgr.2	|- ( ph -> F : A --> CC )
caucvgr.3	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
caucvgr.4	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
caucvgrlem2.5	|- H : CC --> RR
caucvgrlem2.6	|- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgrlem2	|- ( ph -> ( n e. A |-> ( H ` ( F ` n ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( H o. F ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, n, x, A   j, F, k, n, x   j, H, k, n, x   ph, j, k, n, x

Proof of Theorem caucvgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgrlem2.5	. . 3 |- H : CC --> RR
2		caucvgr.2	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		fcompt 6400	. . 3 |- ( ( H : CC --> RR /\ F : A --> CC ) -> ( H o. F ) = ( n e. A |-> ( H ` ( F ` n ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> ( H o. F ) = ( n e. A |-> ( H ` ( F ` n ) ) ) )
5		caucvgr.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
6		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( H : CC --> RR /\ F : A --> CC ) -> ( H o. F ) : A --> RR )
7	1, 2, 6	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( H o. F ) : A --> RR )
8		caucvgr.3	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
9		caucvgr.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
10	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> F : A --> CC )
11		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> k e. A )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
13		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> j e. A )
14	10, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
15		caucvgrlem2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
17	1	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( H ` ( F ` k ) ) e. RR )
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( H ` ( F ` k ) ) e. RR )
19	1	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` j ) e. CC -> ( H ` ( F ` j ) ) e. RR )
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( H ` ( F ` j ) ) e. RR )
21	18, 20	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) e. CC )
23	22	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR )
24	12, 14	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
25	24	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
26		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> x e. RR )
28		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) < x ) )
29	23, 25, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) < x ) )
30	16, 29	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) < x ) )
31		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A --> CC /\ k e. A ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
32	10, 11, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
33		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A --> CC /\ j e. A ) -> ( ( H o. F ) ` j ) = ( H ` ( F ` j ) ) )
34	10, 13, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( H o. F ) ` j ) = ( H ` ( F ` j ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) = ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) )
37	36	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( H ` ( F ` k ) ) - ( H ` ( F ` j ) ) ) ) < x ) )
38	30, 37	sylibrd 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) )
39	38	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. A /\ k e. A ) ) -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
40	39	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. A ) /\ k e. A ) -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. A ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
42	41	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
43	42	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
44	9, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( H o. F ) ` k ) - ( ( H o. F ) ` j ) ) ) < x ) )
45	5, 7, 8, 44	caurcvgr 14404	. . . 4 |- ( ph -> ( H o. F ) ~~> r ( limsup ` ( H o. F ) ) )
46		rlimrel 14224	. . . . 5 |- Rel ~~> r
47	46	releldmi 5362	. . . 4 |- ( ( H o. F ) ~~> r ( limsup ` ( H o. F ) ) -> ( H o. F ) e. dom ~~> r )
48	45, 47	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( H o. F ) e. dom ~~> r )
49		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
50		fss 6056	. . . . 5 |- ( ( ( H o. F ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( H o. F ) : A --> CC )
51	7, 49, 50	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( H o. F ) : A --> CC )
52	51, 8	rlimdm 14282	. . 3 |- ( ph -> ( ( H o. F ) e. dom ~~> r <-> ( H o. F ) ~~> r ( ~~> r ` ( H o. F ) ) ) )
53	48, 52	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( H o. F ) ~~> r ( ~~> r ` ( H o. F ) ) )
54	4, 53	eqbrtrrd 4677	1 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( H ` ( F ` n ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( H o. F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caucvgr  14406