Theorem cflim2 9085

Description: The cofinality function is a limit ordinal iff its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cflim2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
cflim2	|- ( Lim A <-> Lim ( cf ` A ) )

Proof of Theorem cflim2

Dummy variables s y x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid 3116	. . . . . . 7 |- ( y e. { y e. ~P A | U. y = A } <-> ( y e. ~P A /\ U. y = A ) )
2		selpw 4165	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
3		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim A -> Ord A )
4		ordsson 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord A -> A C_ On )
5		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
6	5	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ On -> ( y C_ A -> y C_ On ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim A -> ( y C_ A -> y C_ On ) )
8	7	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim A /\ y C_ A ) -> y C_ On )
9	8	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> y C_ On )
10		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y C_ On /\ s e. y ) -> s e. On )
11		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. On -> Ord s )
12		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord s -> -. s e. s )
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y C_ On /\ s e. y ) -> -. s e. s )
14		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y C_ s -> ( s e. y -> s e. s ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. y -> ( y C_ s -> s e. s ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y C_ On /\ s e. y ) -> ( y C_ s -> s e. s ) )
17	13, 16	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ On /\ s e. y ) -> -. y C_ s )
18	9, 17	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> -. y C_ s )
19		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> y C_ A )
20		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ A /\ A C_ s ) -> y C_ s )
21	19, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) /\ A C_ s ) -> y C_ s )
22	18, 21	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> -. A C_ s )
23		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> U. y = A )
24	23	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> ( U. y C_ s <-> A C_ s ) )
25	22, 24	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> -. U. y C_ s )
26		unissb 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. y C_ s <-> A. t e. y t C_ s )
27	25, 26	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ s e. y ) -> -. A. t e. y t C_ s )
28	27	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> -. E. s e. y A. t e. y t C_ s )
29		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ On -> ( s e. y -> s e. On ) )
30		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ On -> ( t e. y -> t e. On ) )
31		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. On /\ s e. On ) -> ( t C_ s <-> -. s e. t ) )
32	31	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. On /\ t e. On ) -> ( t C_ s <-> -. s e. t ) )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- t e. _V
34		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- s e. _V
35	33, 34	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t `' _E s <-> s _E t )
36		epel 5032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s _E t <-> s e. t )
37	35, 36	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t `' _E s <-> s e. t )
38	37	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. t `' _E s <-> -. s e. t )
39	32, 38	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. On /\ t e. On ) -> ( t C_ s <-> -. t `' _E s ) )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ On -> ( ( s e. On /\ t e. On ) -> ( t C_ s <-> -. t `' _E s ) ) )
41	29, 30, 40	syl2and 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ On -> ( ( s e. y /\ t e. y ) -> ( t C_ s <-> -. t `' _E s ) ) )
42	41	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y C_ On /\ s e. y ) /\ t e. y ) -> ( t C_ s <-> -. t `' _E s ) )
43	42	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ On /\ s e. y ) -> ( A. t e. y t C_ s <-> A. t e. y -. t `' _E s ) )
44	43	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ On -> ( E. s e. y A. t e. y t C_ s <-> E. s e. y A. t e. y -. t `' _E s ) )
45	9, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> ( E. s e. y A. t e. y t C_ s <-> E. s e. y A. t e. y -. t `' _E s ) )
46	28, 45	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> -. E. s e. y A. t e. y -. t `' _E s )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> y e. _V )
49		epweon 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- _E We On
50		wess 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y C_ On -> ( _E We On -> _E We y ) )
51	49, 50	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y C_ On -> _E We y )
52		weso 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _E We y -> _E Or y )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ On -> _E Or y )
54		cnvso 5674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _E Or y <-> `' _E Or y )
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ On -> `' _E Or y )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ On /\ ( card ` y ) e. om ) -> `' _E Or y )
57		onssnum 8863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
58	47, 57	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
59		cardid2 8779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. dom card -> ( card ` y ) ~~ y )
60		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` y ) ~~ y -> y ~~ ( card ` y ) )
61	58, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ On -> y ~~ ( card ` y ) )
62		nnsdom 8551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` y ) e. om -> ( card ` y ) ~< om )
63		ensdomtr 8096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y ~~ ( card ` y ) /\ ( card ` y ) ~< om ) -> y ~< om )
64	61, 62, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y C_ On /\ ( card ` y ) e. om ) -> y ~< om )
65		isfinite 8549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. Fin <-> y ~< om )
66	64, 65	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ On /\ ( card ` y ) e. om ) -> y e. Fin )
67		wofi 8209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' _E Or y /\ y e. Fin ) -> `' _E We y )
68	56, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ On /\ ( card ` y ) e. om ) -> `' _E We y )
69	9, 68	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> `' _E We y )
70		wefr 5104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' _E We y -> `' _E Fr y )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> `' _E Fr y )
72		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- y C_ y
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> y C_ y )
74		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
75		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. (/) = (/)
76	74, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
77		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. y = A -> ( U. y = (/) <-> A = (/) ) )
78	76, 77	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. y = A -> ( y = (/) -> A = (/) ) )
79		nlim0 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. Lim (/)
80		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = (/) -> ( Lim A <-> Lim (/) ) )
81	79, 80	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = (/) -> -. Lim A )
82	78, 81	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. y = A -> ( y = (/) -> -. Lim A ) )
83	82	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. y = A -> ( Lim A -> y =/= (/) ) )
84	83	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Lim A /\ U. y = A ) -> y =/= (/) )
85	84	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> y =/= (/) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> y =/= (/) )
87		fri 5076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. _V /\ `' _E Fr y ) /\ ( y C_ y /\ y =/= (/) ) ) -> E. s e. y A. t e. y -. t `' _E s )
88	48, 71, 73, 86, 87	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) /\ ( card ` y ) e. om ) -> E. s e. y A. t e. y -. t `' _E s )
89	46, 88	mtand 691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> -. ( card ` y ) e. om )
90		cardon 8770	. . . . . . . . . . 11 |- ( card ` y ) e. On
91		eloni 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( card ` y ) e. On -> Ord ( card ` y ) )
92		ordom 7074	. . . . . . . . . . . 12 |- Ord om
93		ordtri1 5756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord om /\ Ord ( card ` y ) ) -> ( om C_ ( card ` y ) <-> -. ( card ` y ) e. om ) )
94	92, 93	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord ( card ` y ) -> ( om C_ ( card ` y ) <-> -. ( card ` y ) e. om ) )
95	90, 91, 94	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( om C_ ( card ` y ) <-> -. ( card ` y ) e. om )
96	89, 95	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim A /\ y C_ A /\ U. y = A ) -> om C_ ( card ` y ) )
97	2, 96	syl3an2b 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim A /\ y e. ~P A /\ U. y = A ) -> om C_ ( card ` y ) )
98	97	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( Lim A /\ ( y e. ~P A /\ U. y = A ) ) -> om C_ ( card ` y ) )
99	1, 98	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( Lim A /\ y e. { y e. ~P A | U. y = A } ) -> om C_ ( card ` y ) )
100	99	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( Lim A -> A. y e. { y e. ~P A | U. y = A } om C_ ( card ` y ) )
101		ssiin 4570	. . . . 5 |- ( om C_ |^|_ y e. { y e. ~P A | U. y = A } ( card ` y ) <-> A. y e. { y e. ~P A | U. y = A } om C_ ( card ` y ) )
102	100, 101	sylibr 224	. . . 4 |- ( Lim A -> om C_ |^|_ y e. { y e. ~P A | U. y = A } ( card ` y ) )
103		cflim2.1	. . . . 5 |- A e. _V
104	103	cflim3 9084	. . . 4 |- ( Lim A -> ( cf ` A ) = |^|_ y e. { y e. ~P A | U. y = A } ( card ` y ) )
105	102, 104	sseqtr4d 3642	. . 3 |- ( Lim A -> om C_ ( cf ` A ) )
106		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( card ` y ) e. _V
107	106	dfiin2 4555	. . . . . 6 |- |^|_ y e. { y e. ~P A | U. y = A } ( card ` y ) = |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) }
108	104, 107	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( Lim A -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } )
109		cardlim 8798	. . . . . . . . 9 |- ( om C_ ( card ` y ) <-> Lim ( card ` y ) )
110		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( card ` y ) -> ( om C_ x <-> om C_ ( card ` y ) ) )
111		limeq 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( card ` y ) -> ( Lim x <-> Lim ( card ` y ) ) )
112	110, 111	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( card ` y ) -> ( ( om C_ x <-> Lim x ) <-> ( om C_ ( card ` y ) <-> Lim ( card ` y ) ) ) )
113	109, 112	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( x = ( card ` y ) -> ( om C_ x <-> Lim x ) )
114	113	rexlimivw 3029	. . . . . . 7 |- ( E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) -> ( om C_ x <-> Lim x ) )
115	114	ss2abi 3674	. . . . . 6 |- { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } C_ { x | ( om C_ x <-> Lim x ) }
116		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( card ` y ) -> ( x e. On <-> ( card ` y ) e. On ) )
117	90, 116	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( card ` y ) -> x e. On )
118	117	rexlimivw 3029	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) -> x e. On )
119	118	abssi 3677	. . . . . . 7 |- { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } C_ On
120		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( cf ` A ) e. _V
121	108, 120	syl6eqelr 2710	. . . . . . . 8 |- ( Lim A -> |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } e. _V )
122		intex 4820	. . . . . . . 8 |- ( { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } =/= (/) <-> |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } e. _V )
123	121, 122	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } =/= (/) )
124		onint 6995	. . . . . . 7 |- ( ( { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } C_ On /\ { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } =/= (/) ) -> |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } e. { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } )
125	119, 123, 124	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( Lim A -> |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } e. { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } )
126	115, 125	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( Lim A -> |^| { x | E. y e. { y e. ~P A | U. y = A } x = ( card ` y ) } e. { x | ( om C_ x <-> Lim x ) } )
127	108, 126	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( Lim A -> ( cf ` A ) e. { x | ( om C_ x <-> Lim x ) } )
128		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( om C_ x <-> om C_ ( cf ` A ) ) )
129		limeq 5735	. . . . . 6 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( Lim x <-> Lim ( cf ` A ) ) )
130	128, 129	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( ( om C_ x <-> Lim x ) <-> ( om C_ ( cf ` A ) <-> Lim ( cf ` A ) ) ) )
131	120, 130	elab 3350	. . . 4 |- ( ( cf ` A ) e. { x | ( om C_ x <-> Lim x ) } <-> ( om C_ ( cf ` A ) <-> Lim ( cf ` A ) ) )
132	127, 131	sylib 208	. . 3 |- ( Lim A -> ( om C_ ( cf ` A ) <-> Lim ( cf ` A ) ) )
133	105, 132	mpbid 222	. 2 |- ( Lim A -> Lim ( cf ` A ) )
134		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> Ord A )
135		ordzsl 7045	. . . . . . 7 |- ( Ord A <-> ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x \/ Lim A ) )
136	134, 135	sylib 208	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x \/ Lim A ) )
137		df-3or 1038	. . . . . . 7 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x \/ Lim A ) <-> ( ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) \/ Lim A ) )
138		orcom 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) \/ Lim A ) <-> ( Lim A \/ ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) ) )
139		df-or 385	. . . . . . 7 |- ( ( Lim A \/ ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) ) <-> ( -. Lim A -> ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) ) )
140	137, 138, 139	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x \/ Lim A ) <-> ( -. Lim A -> ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) ) )
141	136, 140	sylib 208	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( -. Lim A -> ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = ( cf ` (/) ) )
143		cf0 9073	. . . . . . . . 9 |- ( cf ` (/) ) = (/)
144	142, 143	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = (/) )
145		limeq 5735	. . . . . . . 8 |- ( ( cf ` A ) = (/) -> ( Lim ( cf ` A ) <-> Lim (/) ) )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( Lim ( cf ` A ) <-> Lim (/) ) )
147	79, 146	mtbiri 317	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> -. Lim ( cf ` A ) )
148		1n0 7575	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
149		df1o2 7572	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o = { (/) }
150	149	unieqi 4445	. . . . . . . . . . 11 |- U. 1o = U. { (/) }
151		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
152	151	unisn 4451	. . . . . . . . . . 11 |- U. { (/) } = (/)
153	150, 152	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- U. 1o = (/)
154	148, 153	neeqtrri 2867	. . . . . . . . 9 |- 1o =/= U. 1o
155		limuni 5785	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim 1o -> 1o = U. 1o )
156	155	necon3ai 2819	. . . . . . . . 9 |- ( 1o =/= U. 1o -> -. Lim 1o )
157	154, 156	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -. Lim 1o
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> ( cf ` A ) = ( cf ` suc x ) )
159		cfsuc 9079	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( cf ` suc x ) = 1o )
160	158, 159	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A = suc x ) -> ( cf ` A ) = 1o )
161		limeq 5735	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` A ) = 1o -> ( Lim ( cf ` A ) <-> Lim 1o ) )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ A = suc x ) -> ( Lim ( cf ` A ) <-> Lim 1o ) )
163	157, 162	mtbiri 317	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ A = suc x ) -> -. Lim ( cf ` A ) )
164	163	rexlimiva 3028	. . . . . 6 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. Lim ( cf ` A ) )
165	147, 164	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. On A = suc x ) -> -. Lim ( cf ` A ) )
166	141, 165	syl6 35	. . . 4 |- ( A e. On -> ( -. Lim A -> -. Lim ( cf ` A ) ) )
167	166	con4d 114	. . 3 |- ( A e. On -> ( Lim ( cf ` A ) -> Lim A ) )
168		cff 9070	. . . . . . . . 9 |- cf : On --> On
169	168	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom cf = On
170	169	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( A e. dom cf <-> A e. On )
171		ndmfv 6218	. . . . . . 7 |- ( -. A e. dom cf -> ( cf ` A ) = (/) )
172	170, 171	sylnbir 321	. . . . . 6 |- ( -. A e. On -> ( cf ` A ) = (/) )
173	172, 145	syl 17	. . . . 5 |- ( -. A e. On -> ( Lim ( cf ` A ) <-> Lim (/) ) )
174	79, 173	mtbiri 317	. . . 4 |- ( -. A e. On -> -. Lim ( cf ` A ) )
175	174	pm2.21d 118	. . 3 |- ( -. A e. On -> ( Lim ( cf ` A ) -> Lim A ) )
176	167, 175	pm2.61i 176	. 2 |- ( Lim ( cf ` A ) -> Lim A )
177	133, 176	impbii 199	1 |- ( Lim A <-> Lim ( cf ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   _E cep 5028   Or wor 5034   Fr wfr 5070   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by:  cfom  9086