Theorem chordthmlem4 24562

Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA x. PB = BM ² - PM ² . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity X x. ( 1 - X ) = ( 1 / 2 ) ² - ( ( 1 / 2 ) - X ) ² . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem4.A	|- ( ph -> A e. CC )
chordthmlem4.B	|- ( ph -> B e. CC )
chordthmlem4.X	|- ( ph -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
chordthmlem4.M	|- ( ph -> M = ( ( A + B ) / 2 ) )
chordthmlem4.P	|- ( ph -> P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem4	|- ( ph -> ( ( abs ` ( P - A ) ) x. ( abs ` ( P - B ) ) ) = ( ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem chordthmlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		unitssre 12319	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
4		chordthmlem4.X	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
6	2, 5	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. CC )
8	7	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR )
9	8	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. CC )
10		chordthmlem4.B	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
11		chordthmlem4.A	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
13	12	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. CC )
15	5	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. CC )
16	15	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. CC )
18	9, 14, 17, 14	mul4d 10248	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) x. ( ( abs ` X ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) )
19		chordthmlem4.P	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) )
20	15, 11	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X x. A ) e. CC )
21	7, 10	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. B ) e. CC )
22	20, 21	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) e. CC )
23	19, 22	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. CC )
24	11, 23, 10, 15	affineequiv2 24554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) <-> ( P - A ) = ( ( 1 - X ) x. ( B - A ) ) ) )
25	19, 24	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P - A ) = ( ( 1 - X ) x. ( B - A ) ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( P - A ) ) = ( abs ` ( ( 1 - X ) x. ( B - A ) ) ) )
27	7, 12	absmuld 14193	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
28	26, 27	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( P - A ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
29	23, 10	abssubd 14192	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( P - B ) ) = ( abs ` ( B - P ) ) )
30	11, 23, 10, 15	affineequiv 24553	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) <-> ( B - P ) = ( X x. ( B - A ) ) ) )
31	19, 30	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - P ) = ( X x. ( B - A ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( B - P ) ) = ( abs ` ( X x. ( B - A ) ) ) )
33	15, 12	absmuld 14193	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( X x. ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` X ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
34	29, 32, 33	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( P - B ) ) = ( ( abs ` X ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
35	28, 34	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( P - A ) ) x. ( abs ` ( P - B ) ) ) = ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) x. ( ( abs ` X ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) )
36	14	sqvald 13005	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) )
38	18, 35, 37	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( P - A ) ) x. ( abs ` ( P - B ) ) ) = ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
39	2	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
40	39	halfcld 11277	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
41	40	sqcld 13006	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
42	2	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
43	42, 5	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - X ) e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - X ) e. CC )
45	44	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) e. CC )
47	46	sqcld 13006	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) e. CC )
48	14	sqcld 13006	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) e. CC )
49	41, 47, 48	subdird 10487	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) - ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) ) )
50		subsq 12972	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( ( 1 / 2 ) - X ) e. CC ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ) )
51	40, 44, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ) )
52	40, 40, 15	addsubassd 10412	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) - X ) = ( ( 1 / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) - X ) ) )
53	39	2halvesd 11278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) - X ) = ( 1 - X ) )
55	52, 54	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) - X ) ) = ( 1 - X ) )
56	40, 15	nncand 10397	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - ( ( 1 / 2 ) - X ) ) = X )
57	55, 56	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ) = ( ( 1 - X ) x. X ) )
58	51, 57	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. X ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) ) )
59		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
60	59, 1	elicc2i 12239	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( X e. RR /\ 0 <_ X /\ X <_ 1 ) )
61	4, 60	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. RR /\ 0 <_ X /\ X <_ 1 ) )
62	61	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ 1 )
63	5, 2, 62	abssubge0d 14170	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) = ( 1 - X ) )
64	61	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ X )
65	5, 64	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` X ) = X )
66	63, 65	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) = ( ( 1 - X ) x. X ) )
67		absresq 14042	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / 2 ) - X ) e. RR -> ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) )
68	43, 67	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( 1 / 2 ) - X ) ^ 2 ) ) )
70	58, 66, 69	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
72		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
73		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
75	10, 72, 74	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B x. 2 ) / 2 ) = B )
76	10	times2d 11276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B x. 2 ) = ( B + B ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B x. 2 ) / 2 ) = ( ( B + B ) / 2 ) )
78	75, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( ( B + B ) / 2 ) )
79		chordthmlem4.M	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M = ( ( A + B ) / 2 ) )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( ( B + B ) / 2 ) - ( ( A + B ) / 2 ) ) )
81	10, 10	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + B ) e. CC )
82	11, 10	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
83	81, 82, 72, 74	divsubdird 10840	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B + B ) - ( A + B ) ) / 2 ) = ( ( ( B + B ) / 2 ) - ( ( A + B ) / 2 ) ) )
84	10, 11, 10	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B + B ) - ( A + B ) ) = ( B - A ) )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B + B ) - ( A + B ) ) / 2 ) = ( ( B - A ) / 2 ) )
86	80, 83, 85	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( B - A ) / 2 ) )
87	12, 72, 74	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) )
88	86, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( B - M ) ) = ( abs ` ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) ) )
90	40, 12	absmuld 14193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 / 2 ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
91	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
92		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ( 1 / 2 )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
94	91, 42, 93	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / 2 ) )
95	42, 94	absidd 14161	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
96	95	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 / 2 ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
97	89, 90, 96	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( B - M ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ^ 2 ) )
99	40, 14	sqmuld 13020	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
100	98, 99	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
101	40, 15, 12	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) - ( X x. ( B - A ) ) ) )
102	88, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - M ) - ( B - P ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) - ( X x. ( B - A ) ) ) )
103	82	halfcld 11277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. CC )
104	79, 103	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
105	10, 104, 23	nnncan1d 10426	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - M ) - ( B - P ) ) = ( P - M ) )
106	101, 102, 105	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - M ) = ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( P - M ) ) = ( abs ` ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) ) )
108	44, 12	absmuld 14193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
109	107, 108	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( P - M ) ) = ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ^ 2 ) )
111	46, 14	sqmuld 13020	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
112	110, 111	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
113	100, 112	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) - ( ( ( abs ` ( ( 1 / 2 ) - X ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) ) )
114	49, 71, 113	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` X ) ) x. ( ( abs ` ( B - A ) ) ^ 2 ) ) )
115	38, 114	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> ( ( abs ` ( P - A ) ) x. ( abs ` ( P - B ) ) ) = ( ( ( abs ` ( B - M ) ) ^ 2 ) - ( ( abs ` ( P - M ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  24563