Theorem absmuld 14193

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )
abssubd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
absmuld	|- ( ph -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abssubd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		absmul 14034	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  mulcn2  14326  reccn2  14327  o1mul  14345  o1rlimmul  14349  iseraltlem3  14414  geomulcvg  14607  mertenslem1  14616  fprodabs  14704  absef  14927  efieq1re  14929  lcmgcd  15320  lcmid  15322  mulgcddvds  15369  prmirredlem  19841  blcvx  22601  iblmulc2  23597  itgabs  23601  bddmulibl  23605  dveflem  23742  dvlip  23756  dvlipcn  23757  plyeq0lem  23966  aalioulem4  24090  radcnvlem1  24167  dvradcnv  24175  pserulm  24176  abelthlem5  24189  abelthlem7  24192  abslogle  24364  logtayllem  24405  abscxpbnd  24494  chordthmlem4  24562  divsqrtsumo1  24710  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem5  24759  ftalem1  24799  ftalem2  24800  ftalem5  24803  logexprlim  24950  lgsdilem2  25058  2sqlem3  25145  dchrisumlem2  25179  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  2vmadivsumlem  25229  selberglem2  25235  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem3  25268  pntibndlem2  25280  pntlemn  25289  pntlemj  25292  nmbdfnlbi  28908  nmcfnlbi  28911  bhmafibid1  29644  cnzh  30014  rezh  30015  subfaclim  31170  knoppcnlem4  32486  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  iblmulc2nc  33475  itgabsnc  33479  cntotbnd  33595  irrapxlem2  37387  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  absmulrposd  38457  imo72b2lem0  38465  radcnvrat  38513  fprodabs2  39827  dvdivbd  40138  dvbdfbdioolem1  40143  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  fourierdlem47  40370  fourierdlem68  40391  fourierdlem73  40396  fourierdlem77  40400  fourierdlem87  40410  etransclem23  40474  smfmullem1  40998