Theorem reccn2 14327

Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2.t	|- T = ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
reccn2	|- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   y, B, z   y, T, z

Proof of Theorem reccn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2.t	. . 3 |- T = ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) )
2		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
3		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
4		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
6		absrpcl 14028	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
8		rpmulcl 11855	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR+ )
9	7, 8	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR+ )
10		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
11	2, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
12	7	rphalfcld 11884	. . . 4 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) / 2 ) e. RR+ )
13	11, 12	rpmulcld 11888	. . 3 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) e. RR+ )
14	1, 13	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> T e. RR+ )
15	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> A e. CC )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> z e. ( CC \ { 0 } ) )
18		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( z e. CC /\ z =/= 0 ) )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( z e. CC /\ z =/= 0 ) )
20	19	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> z e. CC )
21	16, 20	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A x. z ) e. CC )
22		mulne0 10669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( z e. CC /\ z =/= 0 ) ) -> ( A x. z ) =/= 0 )
23	15, 19, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A x. z ) =/= 0 )
24	16, 20, 21, 23	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( A - z ) / ( A x. z ) ) = ( ( A / ( A x. z ) ) - ( z / ( A x. z ) ) ) )
25	16	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A x. 1 ) = A )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( A x. 1 ) / ( A x. z ) ) = ( A / ( A x. z ) ) )
27		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> 1 e. CC )
28		divcan5 10727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( z e. CC /\ z =/= 0 ) /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( A x. 1 ) / ( A x. z ) ) = ( 1 / z ) )
29	27, 19, 15, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( A x. 1 ) / ( A x. z ) ) = ( 1 / z ) )
30	26, 29	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A / ( A x. z ) ) = ( 1 / z ) )
31	20	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( z x. 1 ) = z )
32	20, 16	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( z x. A ) = ( A x. z ) )
33	31, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( z x. 1 ) / ( z x. A ) ) = ( z / ( A x. z ) ) )
34		divcan5 10727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( z e. CC /\ z =/= 0 ) ) -> ( ( z x. 1 ) / ( z x. A ) ) = ( 1 / A ) )
35	27, 15, 19, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( z x. 1 ) / ( z x. A ) ) = ( 1 / A ) )
36	33, 35	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( z / ( A x. z ) ) = ( 1 / A ) )
37	30, 36	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( A / ( A x. z ) ) - ( z / ( A x. z ) ) ) = ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) )
38	24, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( A - z ) / ( A x. z ) ) = ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( ( A - z ) / ( A x. z ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) )
40	16, 20	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( A - z ) e. CC )
41	40, 21, 23	absdivd 14194	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( ( A - z ) / ( A x. z ) ) ) = ( ( abs ` ( A - z ) ) / ( abs ` ( A x. z ) ) ) )
42	39, 41	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) = ( ( abs ` ( A - z ) ) / ( abs ` ( A x. z ) ) ) )
43	16, 20	abssubd 14192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - z ) ) = ( abs ` ( z - A ) ) )
44	20, 16	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( z - A ) e. CC )
45	44	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) e. RR )
46	43, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - z ) ) e. RR )
47	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T e. RR+ )
48	47	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T e. RR )
49	21	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A x. z ) ) e. RR )
50		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> B e. RR )
52	49, 51	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) e. RR )
53		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) < T )
54	43, 53	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - z ) ) < T )
55	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR+ )
56	55	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR )
57	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) / 2 ) e. RR+ )
58	57	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) / 2 ) e. RR )
59	56, 58	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) e. RR )
60		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
61		min2 12021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. B ) )
62	60, 56, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. B ) )
63	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
64	63	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) e. RR )
65	64, 56, 57	lemul1d 11915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. B ) <-> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) ) )
66	62, 65	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
67	1, 66	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T <_ ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
68	20	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
69	16	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
70	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
71	70	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / 2 ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) = ( abs ` A ) )
72	69, 68	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` z ) ) e. RR )
73	16, 20	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` z ) ) <_ ( abs ` ( A - z ) ) )
74		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( abs ` A ) x. B ) e. RR ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ 1 )
75	60, 56, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ 1 )
76		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> 1 e. RR )
77	64, 76, 57	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) <_ 1 <-> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) ) )
78	75, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. B ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. B ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
79	1, 78	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T <_ ( 1 x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
80	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) / 2 ) e. CC )
81	80	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( 1 x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) = ( ( abs ` A ) / 2 ) )
82	79, 81	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T <_ ( ( abs ` A ) / 2 ) )
83	46, 48, 58, 54, 82	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - z ) ) < ( ( abs ` A ) / 2 ) )
84	72, 46, 58, 73, 83	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` z ) ) < ( ( abs ` A ) / 2 ) )
85	69, 68, 58	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) - ( abs ` z ) ) < ( ( abs ` A ) / 2 ) <-> ( abs ` A ) < ( ( abs ` z ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) ) )
86	84, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` A ) < ( ( abs ` z ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
87	71, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / 2 ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) < ( ( abs ` z ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) )
88	58, 68, 58	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / 2 ) < ( abs ` z ) <-> ( ( ( abs ` A ) / 2 ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) < ( ( abs ` z ) + ( ( abs ` A ) / 2 ) ) ) )
89	87, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` A ) / 2 ) < ( abs ` z ) )
90	58, 68, 55, 89	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) < ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( abs ` z ) ) )
91	16, 20	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A x. z ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` z ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` z ) ) x. B ) )
93	68	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` z ) e. CC )
94	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> B e. CC )
95	70, 93, 94	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` z ) ) x. B ) = ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( abs ` z ) ) )
96	92, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) = ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( abs ` z ) ) )
97	90, 96	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. B ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) < ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) )
98	48, 59, 52, 67, 97	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> T < ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) )
99	46, 48, 52, 54, 98	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - z ) ) < ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) )
100	21, 23	absrpcld 14187	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A x. z ) ) e. RR+ )
101	46, 51, 100	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - z ) ) / ( abs ` ( A x. z ) ) ) < B <-> ( abs ` ( A - z ) ) < ( ( abs ` ( A x. z ) ) x. B ) ) )
102	99, 101	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - z ) ) / ( abs ` ( A x. z ) ) ) < B )
103	42, 102	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B )
104	103	expr 643	. . 3 |- ( ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < T -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) )
105	104	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < T -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) )
106		breq2 4657	. . . . 5 |- ( y = T -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y <-> ( abs ` ( z - A ) ) < T ) )
107	106	imbi1d 331	. . . 4 |- ( y = T -> ( ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) <-> ( ( abs ` ( z - A ) ) < T -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) ) )
108	107	ralbidv 2986	. . 3 |- ( y = T -> ( A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) <-> A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < T -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) ) )
109	108	rspcev 3309	. 2 |- ( ( T e. RR+ /\ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < T -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) )
110	14, 105, 109	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ B e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  rlimdiv  14376  divcn  22671  climrec  39835