Theorem reccld 10794

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
reccld.2	|- ( ph -> A =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
reccld	|- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		reccld.2	. 2 |- ( ph -> A =/= 0 )
3		reccl 10692	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  recgt0  10867  expmulz  12906  rlimdiv  14376  rlimno1  14384  isumdivc  14495  fsumdivc  14518  geolim  14601  georeclim  14603  clim2div  14621  prodfdiv  14628  dvmptdivc  23728  dvmptdiv  23737  dvexp3  23741  logtayl  24406  dvcncxp1  24484  cxpeq  24498  logbrec  24520  ang180lem1  24539  ang180lem2  24540  ang180lem3  24541  isosctrlem2  24549  dvatan  24662  efrlim  24696  amgm  24717  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  igamf  24777  igamcl  24778  lgam1  24790  dchrinvcl  24978  dchrabs  24985  2lgslem3c  25123  dchrmusumlem  25211  vmalogdivsum2  25227  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem6  25272  nmlno0lem  27648  nmlnop0iALT  28854  branmfn  28964  leopmul  28993  logdivsqrle  30728  dvtan  33460  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  pell14qrdich  37433  mpaaeu  37720  areaquad  37802  hashnzfzclim  38521  binomcxplemnotnn0  38555  oddfl  39489  climrec  39835  climdivf  39844  reclimc  39885  divlimc  39888  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  stoweidlem7  40224  stoweidlem37  40254  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem15  40305  dirkertrigeq  40318  fourierdlem30  40354  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418  seccl  42491  csccl  42492  young2d  42551