Theorem wallispi 40287

Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispi.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispi.2	|- W = ( n e. NN |-> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispi	|- W ~~> ( pi / 2 )

Distinct variable groups:   k, n   n, F

Allowed substitution hints:   F( k)   W( k, n)

Proof of Theorem wallispi

Dummy variables x j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		wallispi.1	. . . . . . . 8 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) ` ( 2 x. n ) ) / ( ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) ` ( 2 x. n ) ) / ( ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	wallispilem5 40286	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ~~> 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ~~> 1 )
10		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 e. CC )
11		picn 24211	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> pi e. CC )
13		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
14		pipos 24212	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
15	13, 14	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . 8 |- pi =/= 0
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> pi =/= 0 )
17	10, 12, 16	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( T. -> ( 2 / pi ) e. CC )
18		nnex 11026	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
19	18	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) e. _V )
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> pi e. CC )
22	21	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( pi / 2 ) e. CC )
23		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24	23	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. j ) - 1 ) )
28	26, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) )
29	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
30	26, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
31	28, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 1 ... n ) /\ k = j ) -> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) )
33		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> j e. NN )
34		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
35		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> j e. CC )
36	34, 35	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. CC )
37		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
38	36, 37	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) - 1 ) e. CC )
39		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
40		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 x. 1 ) = 1
41	39, 39	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 1 x. 1 ) e. RR )
42		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
44	43, 39	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
45		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
46	43, 45	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
47		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. RR+
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 1 e. RR+ )
49		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 < 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 1 < 2 )
51	39, 43, 48, 50	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 1 x. 1 ) < ( 2 x. 1 ) )
52		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 <_ 2
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 0 <_ 2 )
54		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
55	39, 45, 43, 53, 54	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. j ) )
56	41, 44, 46, 51, 55	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> ( 1 x. 1 ) < ( 2 x. j ) )
57	40, 56	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 1 < ( 2 x. j ) )
58	39, 57	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) =/= 1 )
59	36, 37, 58	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) - 1 ) =/= 0 )
60	36, 38, 59	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) e. CC )
61	36, 37	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
62		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
63	46, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
64	48	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
65		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
67		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
68	66, 67	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
69	39, 68	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
70	62, 39, 63, 64, 69	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
71	62, 70	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
72	36, 61, 71	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
73	60, 72	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) e. CC )
74	33, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) e. CC )
75	25, 32, 33, 74	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( F ` j ) = ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) )
76	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> 2 e. RR+ )
77	33	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> j e. RR+ )
78	76, 77	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
79	46, 39	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) - 1 ) e. RR )
80		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 - 1 ) = 0
81	39, 46, 39, 57	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 1 - 1 ) < ( ( 2 x. j ) - 1 ) )
82	80, 81	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) - 1 ) )
83	79, 82	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) - 1 ) e. RR+ )
84	33, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( 2 x. j ) - 1 ) e. RR+ )
85	78, 84	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) e. RR+ )
86	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> 2 e. RR )
87	33	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> j e. RR )
88	86, 87	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
89	76	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> 0 <_ 2 )
90	77	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> 0 <_ j )
91	86, 87, 89, 90	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
92	88, 91	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
93	78, 92	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR+ )
94	85, 93	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. j ) / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
95	75, 94	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... n ) -> ( F ` j ) e. RR+ )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` j ) e. RR+ )
97		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. RR+ /\ w e. RR+ ) -> ( j x. w ) e. RR+ )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( j e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( j x. w ) e. RR+ )
99	24, 96, 98	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) e. RR+ )
100	99	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) e. CC )
101	99	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) =/= 0 )
102	100, 101	reccld 10794	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) e. CC )
103	22, 102	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) e. CC )
104	6, 103	fmpti 6383	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) : NN --> CC
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) : NN --> CC )
106	105	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
107		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) )
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) e. RR+ <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) e. RR+ ) )
109	108, 99	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) e. RR+ )
110	109	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) e. CC )
111	109	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) =/= 0 )
112	37, 110, 111	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) = ( 1 x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) )
113	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> pi e. CC )
114	66	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> 2 =/= 0 )
115	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> pi =/= 0 )
116	34, 113, 114, 115	divcan6d 10820	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( 2 / pi ) x. ( pi / 2 ) ) = 1 )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> 1 = ( ( 2 / pi ) x. ( pi / 2 ) ) )
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( 1 x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) = ( ( ( 2 / pi ) x. ( pi / 2 ) ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) )
119	34, 113, 115	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( 2 / pi ) e. CC )
120	113	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( pi / 2 ) e. CC )
121	110, 111	reccld 10794	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) e. CC )
122	119, 120, 121	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( ( ( 2 / pi ) x. ( pi / 2 ) ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) = ( ( 2 / pi ) x. ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) ) )
123	112, 118, 122	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) = ( ( 2 / pi ) x. ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) ) )
124		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
125	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) = ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) = ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) )
127		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. NN )
128	109	rpreccld 11882	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) e. RR+ )
129	124, 126, 127, 128	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) = ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) )
130		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) )
131	126	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) = ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) )
132	120, 121	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) e. CC )
133	130, 131, 127, 132	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ` j ) = ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( ( 2 / pi ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( ( 2 / pi ) x. ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) ) )
135	123, 129, 134	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) = ( ( 2 / pi ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
136	135	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) = ( ( 2 / pi ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
137	1, 2, 9, 17, 20, 106, 136	climmulc2 14367	. . . . 5 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ~~> ( ( 2 / pi ) x. 1 ) )
138		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
139	138, 11, 15	divcli 10767	. . . . . 6 |- ( 2 / pi ) e. CC
140	139	mulid1i 10042	. . . . 5 |- ( ( 2 / pi ) x. 1 ) = ( 2 / pi )
141	137, 140	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ~~> ( 2 / pi ) )
142		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
143	138, 11, 142, 15	divne0i 10773	. . . . 5 |- ( 2 / pi ) =/= 0
144	143	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 / pi ) =/= 0 )
145	129, 121	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) e. CC )
146	110, 111	recne0d 10795	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) =/= 0 )
147	129, 146	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) =/= 0 )
148		nelsn 4212	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) =/= 0 -> -. ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) e. { 0 } )
149	147, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> -. ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) e. { 0 } )
150	145, 149	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) e. ( CC \ { 0 } ) )
151	150	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) e. ( CC \ { 0 } ) )
152	110, 111	recrecd 10798	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) )
153	124, 126, 127, 121	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) = ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) )
154	153	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) ) = ( 1 / ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) ) ) )
155		wallispi.2	. . . . . . 7 |- W = ( n e. NN |-> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) )
156	107, 155, 99	fvmpt3 6286	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( W ` j ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` j ) )
157	152, 154, 156	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( W ` j ) = ( 1 / ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) ) )
158	157	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( W ` j ) = ( 1 / ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) ` j ) ) )
159	18	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) e. _V
160	155, 159	eqeltri 2697	. . . . 5 |- W e. _V
161	160	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> W e. _V )
162	1, 2, 141, 144, 151, 158, 161	climrec 39835	. . 3 |- ( T. -> W ~~> ( 1 / ( 2 / pi ) ) )
163	162	trud 1493	. 2 |- W ~~> ( 1 / ( 2 / pi ) )
164		recdiv 10731	. . 3 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( 2 / pi ) ) = ( pi / 2 ) )
165	138, 142, 11, 15, 164	mp4an 709	. 2 |- ( 1 / ( 2 / pi ) ) = ( pi / 2 )
166	163, 165	breqtri 4678	1 |- W ~~> ( pi / 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   ~~> cli 14215   sincsin 14794   picpi 14797   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  wallispi2  40290