Theorem cmpcmet 23116

Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 33620. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	|- J = ( MetOpen ` D )
relcmpcmet.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
cmpcmet.3	|- ( ph -> J e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
cmpcmet	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Proof of Theorem cmpcmet

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.1	. 2 |- J = ( MetOpen ` D )
2		relcmpcmet.2	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
3		1rp 11836	. . 3 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		cmpcmet.3	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> J e. Comp )
7		metxmet 22139	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
10	1	mopntop 22245	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> J e. Top )
12		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
13		rpxr 11840	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
14	3, 13	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
15		blssm 22223	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ 1 e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X )
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X )
17	1	mopnuni 22246	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> X = U. J )
19	16, 18	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ U. J )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
21	20	clscld 20851	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) 1 ) ) e. ( Clsd ` J ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) 1 ) ) e. ( Clsd ` J ) )
23		cmpcld 21205	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) 1 ) ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) e. Comp )
24	6, 22, 23	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) e. Comp )
25	1, 2, 4, 24	relcmpcmet 23115	1 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   RR*cxr 10073   RR+crp 11832   ↾_t crest 16081   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Compccmp 21189   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cmp 21190  df-fil 21650  df-flim 21743  df-fcls 21745  df-cfil 23053  df-cmet 23055

This theorem is referenced by: (None)