Theorem cnfcom2 8599

Description: Any nonzero ordinal B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom2.1	|- ( ph -> (/) e. B )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom2	|- ( ph -> ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   x, M   f, k, x, z, F   z, T   x, W   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z   ph, k, x, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)   W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom.s	. . . . 5 |- S = dom ( om CNF A )
2		cnfcom.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. On )
3		cnfcom.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
4		cnfcom.f	. . . . 5 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
5		cnfcom.g	. . . . 5 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
6		cnfcom.h	. . . . 5 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
7		cnfcom.t	. . . . 5 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
8		cnfcom.m	. . . . 5 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
9		cnfcom.k	. . . . 5 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
10		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( F supp (/) ) e. _V
11	5	oion 8441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F supp (/) ) e. _V -> dom G e. On )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom G e. On
13	12	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- dom G e. _V
14	13	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. dom G e. _V
15	14	sucid 5804	. . . . . 6 |- U. dom G e. suc U. dom G
16		cnfcom.w	. . . . . . 7 |- W = ( G ` U. dom G )
17		cnfcom2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> (/) e. B )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	cnfcom2lem 8598	. . . . . 6 |- ( ph -> dom G = suc U. dom G )
19	15, 18	syl5eleqr 2708	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom G e. dom G )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	cnfcom 8597	. . . 4 |- ( ph -> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` U. dom G ) ) .o ( F ` ( G ` U. dom G ) ) ) )
21	16	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( om ^o W ) = ( om ^o ( G ` U. dom G ) )
22	16	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( F ` W ) = ( F ` ( G ` U. dom G ) )
23	21, 22	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) = ( ( om ^o ( G ` U. dom G ) ) .o ( F ` ( G ` U. dom G ) ) )
24		f1oeq3 6129	. . . . 5 |- ( ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) = ( ( om ^o ( G ` U. dom G ) ) .o ( F ` ( G ` U. dom G ) ) ) -> ( ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` U. dom G ) ) .o ( F ` ( G ` U. dom G ) ) ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` U. dom G ) ) .o ( F ` ( G ` U. dom G ) ) ) )
26	20, 25	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) )
27	18	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( T ` dom G ) = ( T ` suc U. dom G ) )
28		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( ( T ` dom G ) = ( T ` suc U. dom G ) -> ( ( T ` dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( T ` dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` suc U. dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) ) )
30	26, 29	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( T ` dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) )
31	4	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( ( om CNF A ) ` F ) = ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) )
32		omelon 8543	. . . . . . 7 |- om e. On
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> om e. On )
34	1, 33, 2	cantnff1o 8593	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
35		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
36		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
38	37, 3	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
39	4, 38	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. S )
40	8	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( M +o z ) = ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. _V /\ z e. _V ) -> ( M +o z ) = ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) )
42	41	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (/) = (/)
44		seqomeq12 7549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) /\ (/) = (/) ) -> seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) )
45	42, 43, 44	mp2an 708	. . . . . . 7 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
46	6, 45	eqtri 2644	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
47	1, 33, 2, 5, 39, 46	cantnfval 8565	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( om CNF A ) ` F ) = ( H ` dom G ) )
48	31, 47	syl5reqr 2671	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` dom G ) = ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) ) )
49	18	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` dom G ) = ( H ` suc U. dom G ) )
50		f1ocnvfv2 6533	. . . . 5 |- ( ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) /\ B e. ( om ^o A ) ) -> ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) ) = B )
51	34, 3, 50	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) ) = B )
52	48, 49, 51	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ph -> ( H ` suc U. dom G ) = B )
53		f1oeq2 6128	. . 3 |- ( ( H ` suc U. dom G ) = B -> ( ( T ` dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( T ` dom G ) : ( H ` suc U. dom G ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) <-> ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) ) )
55	30, 54	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cnfcom3  8601