Theorem coe1pwmul 19649

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	|- .0. = ( 0g ` R )
coe1pwmul.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1pwmul.x	|- X = (var1 ` R )
coe1pwmul.n	|- N = (mulGrp ` P )
coe1pwmul.e	|- .^ = (.g ` N )
coe1pwmul.b	|- B = ( Base ` P )
coe1pwmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
coe1pwmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1pwmul.a	|- ( ph -> A e. B )
coe1pwmul.d	|- ( ph -> D e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	|- ( ph -> (coe1 ` ( ( D .^ X ) .x. A ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, N   x, P   x, R   x, X   x, .^   x, .0.   ph, x   x, .x.

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		coe1pwmul.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
4		coe1pwmul.x	. . 3 |- X = (var1 ` R )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` P ) = ( .s ` P )
6		coe1pwmul.n	. . 3 |- N = (mulGrp ` P )
7		coe1pwmul.e	. . 3 |- .^ = (.g ` N )
8		coe1pwmul.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
9		coe1pwmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
10		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
11		coe1pwmul.a	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
12		coe1pwmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
14	2, 13	ringidcl 18568	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
15	12, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
16		coe1pwmul.d	. . 3 |- ( ph -> D e. NN0 )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 19647	. 2 |- ( ph -> (coe1 ` ( ( ( 1r ` R ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) .x. A ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
18	3	ply1sca 19623	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` (Scalar ` P ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) = ( ( 1r ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) )
22	3	ply1lmod 19622	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
23	12, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. LMod )
24	3	ply1ring 19618	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
25	6	ringmgp 18553	. . . . . . . 8 |- ( P e. Ring -> N e. Mnd )
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. Mnd )
27	4, 3, 8	vr1cl 19587	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> X e. B )
28	12, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
29	6, 8	mgpbas 18495	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` N )
30	29, 7	mulgnn0cl 17558	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Mnd /\ D e. NN0 /\ X e. B ) -> ( D .^ X ) e. B )
31	26, 16, 28, 30	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D .^ X ) e. B )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` P ) ) = ( 1r ` (Scalar ` P ) )
34	8, 32, 5, 33	lmodvs1 18891	. . . . . 6 |- ( ( P e. LMod /\ ( D .^ X ) e. B ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) = ( D .^ X ) )
35	23, 31, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` (Scalar ` P ) ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) = ( D .^ X ) )
36	21, 35	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) = ( D .^ X ) )
37	36	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1r ` R ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) .x. A ) = ( ( D .^ X ) .x. A ) )
38	37	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> (coe1 ` ( ( ( 1r ` R ) ( .s ` P ) ( D .^ X ) ) .x. A ) ) = (coe1 ` ( ( D .^ X ) .x. A ) ) )
39	12	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> R e. Ring )
40		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` A ) = (coe1 ` A )
41	40, 8, 3, 2	coe1f 19581	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> (coe1 ` A ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
42	11, 41	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (coe1 ` A ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> (coe1 ` A ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
44	16	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> D e. NN0 )
45		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> x e. NN0 )
46		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> D <_ x )
47		nn0sub2 11438	. . . . . . 7 |- ( ( D e. NN0 /\ x e. NN0 /\ D <_ x ) -> ( x - D ) e. NN0 )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( x - D ) e. NN0 )
49	43, 48	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) e. ( Base ` R ) )
50	2, 10, 13	ringlidm 18571	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) = ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) )
51	39, 49, 50	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) = ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) )
52	51	ifeq1da 4116	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> if ( D <_ x , ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) = if ( D <_ x , ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) , .0. ) )
53	52	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) , .0. ) ) )
54	17, 38, 53	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> (coe1 ` ( ( D .^ X ) .x. A ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) , .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  19650