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Theorem coe1tmmul 19647
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z |- .0. = ( 0g ` R )
coe1tm.k |- K = ( Base ` R )
coe1tm.p |- P = (Poly1 ` R )
coe1tm.x |- X = (var1 ` R )
coe1tm.m |- .x. = ( .s ` P )
coe1tm.n |- N = (mulGrp ` P )
coe1tm.e |- .^ = (.g ` N )
coe1tmmul.b |- B = ( Base ` P )
coe1tmmul.t |- .xb = ( .r ` P )
coe1tmmul.u |- .X. = ( .r ` R )
coe1tmmul.a |- ( ph -> A e. B )
coe1tmmul.r |- ( ph -> R e. Ring )
coe1tmmul.c |- ( ph -> C e. K )
coe1tmmul.d |- ( ph -> D e. NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul |- ( ph -> (coe1 ` ( ( C .x. ( D .^ X ) ) .xb A ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
Distinct variable groups:   x, .0.   x, C   x, D   x, K   x, .^   x, A   x, N   x, P   x, X   ph, x   x, R   x, .x.   x, .X.   x, .xb
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2 coe1tmmul.c . . . 4 |- ( ph -> C e. K )
3 coe1tmmul.d . . . 4 |- ( ph -> D e. NN0 )
4 coe1tm.k . . . . 5 |- K = ( Base ` R )
5 coe1tm.p . . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
6 coe1tm.x . . . . 5 |- X = (var1 ` R )
7 coe1tm.m . . . . 5 |- .x. = ( .s ` P )
8 coe1tm.n . . . . 5 |- N = (mulGrp ` P )
9 coe1tm.e . . . . 5 |- .^ = (.g ` N )
10 coe1tmmul.b . . . . 5 |- B = ( Base ` P )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 19642 . . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )
121, 2, 3, 11syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )
13 coe1tmmul.a . . 3 |- ( ph -> A e. B )
14 coe1tmmul.t . . . 4 |- .xb = ( .r ` P )
15 coe1tmmul.u . . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
165, 14, 15, 10coe1mul 19640 . . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B /\ A e. B ) -> (coe1 ` ( ( C .x. ( D .^ X ) ) .xb A ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) )
171, 12, 13, 16syl3anc 1326 . 2 |- ( ph -> (coe1 ` ( ( C .x. ( D .^ X ) ) .xb A ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2633 . . . 4 |- ( ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) = if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) -> ( ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) <-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
19 eqeq2 2633 . . . 4 |- ( .0. = if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) -> ( ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. <-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
20 coe1tm.z . . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
211ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> R e. Ring )
22 ringmnd 18556 . . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
2321, 22syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> R e. Mnd )
24 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( 0 ... x ) e. _V )
253ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> D e. NN0 )
26 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> D <_ x )
27 fznn0 12432 . . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> ( D e. ( 0 ... x ) <-> ( D e. NN0 /\ D <_ x ) ) )
2827ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( D e. ( 0 ... x ) <-> ( D e. NN0 /\ D <_ x ) ) )
2925, 26, 28mpbir2and 957 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> D e. ( 0 ... x ) )
301ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> R e. Ring )
31 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) = (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) )
3231, 10, 5, 4coe1f 19581 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
3312, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
35 elfznn0 12433 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. NN0 )
36 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K /\ y e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) e. K )
3734, 35, 36syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) e. K )
38 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- (coe1 ` A ) = (coe1 ` A )
3938, 10, 5, 4coe1f 19581 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. B -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
42 fznn0sub 12373 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> ( x - y ) e. NN0 )
43 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` A ) : NN0 --> K /\ ( x - y ) e. NN0 ) -> ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) e. K )
4441, 42, 43syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) e. K )
454, 15ringcl 18561 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) e. K /\ ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) e. K ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) e. K )
4630, 37, 44, 45syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) e. K )
47 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) )
4846, 47fmptd 6385 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) : ( 0 ... x ) --> K )
4948adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) : ( 0 ... x ) --> K )
501ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> R e. Ring )
512ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> C e. K )
523ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> D e. NN0 )
53 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) -> y e. ( 0 ... x ) )
5453, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) -> y e. NN0 )
5554adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> y e. NN0 )
56 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) -> y =/= D )
5756necomd 2849 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) -> D =/= y )
5857adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> D =/= y )
5920, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 50, 51, 52, 55, 58coe1tmfv2 19645 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) = .0. )
6059oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) )
614, 15, 20ringlz 18587 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) e. K ) -> ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
6230, 44, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
6353, 62sylan2 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
6463adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
6560, 64eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { D } ) ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
6665, 24suppss2 7329 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) supp .0. ) C_ { D } )
674, 20, 23, 24, 29, 49, 66gsumpt 18361 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ` D ) )
68 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( y = D -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) = ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) )
69 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = D -> ( x - y ) = ( x - D ) )
7069fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( y = D -> ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) = ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) )
7168, 70oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( y = D -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
72 ovex 6678 . . . . . . . 8 |- ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) e. _V
7371, 47, 72fvmpt 6282 . . . . . . 7 |- ( D e. ( 0 ... x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ` D ) = ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
7429, 73syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ` D ) = ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
7520, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 19644 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C )
761, 2, 3, 75syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C )
7776ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C )
7877oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) = ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
7974, 78eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ` D ) = ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
8067, 79eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) )
811ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> R e. Ring )
822ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> C e. K )
833ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> D e. NN0 )
8435adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y e. NN0 )
85 elfzle2 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> y <_ x )
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y <_ x )
87 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D = y -> ( D <_ x <-> y <_ x ) )
8886, 87syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( D = y -> D <_ x ) )
8988necon3bd 2808 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( -. D <_ x -> D =/= y ) )
9089imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) /\ -. D <_ x ) -> D =/= y )
9190an32s 846 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> D =/= y )
9220, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91coe1tmfv2 19645 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) = .0. )
9392oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) )
9462adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( .0. .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
9593, 94eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
9695mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) )
9796oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) )
981, 22syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Mnd )
9998ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> R e. Mnd )
100 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( 0 ... x ) e. _V )
10120gsumz 17374 . . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... x ) e. _V ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. )
10299, 100, 101syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. )
10397, 102eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. )
10418, 19, 80, 103ifbothda 4123 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) )
105104mpteq2dva 4744 . 2 |- ( ph -> ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` y ) .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
10617, 105eqtrd 2656 1 |- ( ph -> (coe1 ` ( ( C .x. ( D .^ X ) ) .xb A ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( C .X. ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) , .0. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547  coe1cco1 19548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553
This theorem is referenced by:  coe1pwmul  19649  coe1sclmul  19652
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