Theorem coe1tmmul2 19646

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	|- .0. = ( 0g ` R )
coe1tm.k	|- K = ( Base ` R )
coe1tm.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1tm.x	|- X = (var1 ` R )
coe1tm.m	|- .x. = ( .s ` P )
coe1tm.n	|- N = (mulGrp ` P )
coe1tm.e	|- .^ = (.g ` N )
coe1tmmul.b	|- B = ( Base ` P )
coe1tmmul.t	|- .xb = ( .r ` P )
coe1tmmul.u	|- .X. = ( .r ` R )
coe1tmmul.a	|- ( ph -> A e. B )
coe1tmmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1tmmul.c	|- ( ph -> C e. K )
coe1tmmul.d	|- ( ph -> D e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2	|- ( ph -> (coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, C   x, D   x, K   x, .^   x, A   x, N   x, P   x, X   ph, x   x, R   x, .x.   x, .X.   x, .xb

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		coe1tmmul.a	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
3		coe1tmmul.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. K )
4		coe1tmmul.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. NN0 )
5		coe1tm.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
6		coe1tm.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
7		coe1tm.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` R )
8		coe1tm.m	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` P )
9		coe1tm.n	. . . . 5 |- N = (mulGrp ` P )
10		coe1tm.e	. . . . 5 |- .^ = (.g ` N )
11		coe1tmmul.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ply1tmcl 19642	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )
14		coe1tmmul.t	. . . 4 |- .xb = ( .r ` P )
15		coe1tmmul.u	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
16	6, 14, 15, 11	coe1mul 19640	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B /\ ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B ) -> (coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) )
17	1, 2, 13, 16	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> (coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) )
18		eqeq2 2633	. . . 4 |- ( ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) = if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) -> ( ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) <-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) )
19		eqeq2 2633	. . . 4 |- ( .0. = if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) -> ( ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. <-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) )
20		coe1tm.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
21	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> R e. Ring )
22		ringmnd 18556	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> R e. Mnd )
24		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... x ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( 0 ... x ) e. _V )
26		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D <_ x )
27	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. NN0 )
28		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. NN0 )
29		nn0sub 11343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( D <_ x <-> ( x - D ) e. NN0 ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( D <_ x <-> ( x - D ) e. NN0 ) )
31	26, 30	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) e. NN0 )
32	27	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ D )
33		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN0 -> x e. RR )
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. RR )
35	4	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. RR )
37	34, 36	subge02d 10619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( 0 <_ D <-> ( x - D ) <_ x ) )
38	32, 37	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) <_ x )
39		fznn0 12432	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN0 -> ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) <-> ( ( x - D ) e. NN0 /\ ( x - D ) <_ x ) ) )
40	39	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) <-> ( ( x - D ) e. NN0 /\ ( x - D ) <_ x ) ) )
41	31, 38, 40	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) e. ( 0 ... x ) )
42	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> R e. Ring )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coe1 ` A ) = (coe1 ` A )
44	43, 11, 6, 5	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. B -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
45	2, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
47		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. NN0 )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y e. NN0 )
49	46, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( (coe1 ` A ) ` y ) e. K )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) = (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) )
51	50, 11, 6, 5	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
52	13, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K )
54		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> ( x - y ) e. NN0 )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( x - y ) e. NN0 )
56	53, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) e. K )
57	5, 15	ringcl 18561	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` A ) ` y ) e. K /\ ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) e. K ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) e. K )
58	42, 49, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) e. K )
59		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) )
60	58, 59	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) : ( 0 ... x ) --> K )
61	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> R e. Ring )
62	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> C e. K )
63	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> D e. NN0 )
64		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) -> y e. ( 0 ... x ) )
65	64, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) -> ( x - y ) e. NN0 )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( x - y ) e. NN0 )
67		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) <-> ( y e. ( 0 ... x ) /\ y =/= ( x - D ) ) )
68		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> x e. NN0 )
69	68	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> x e. CC )
70	47	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. CC )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y e. CC )
72	69, 71	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( x - ( x - y ) ) = y )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y = ( x - ( x - y ) ) )
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D = ( x - y ) -> ( x - D ) = ( x - ( x - y ) ) )
75	74	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D = ( x - y ) -> ( y = ( x - D ) <-> y = ( x - ( x - y ) ) ) )
76	73, 75	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( D = ( x - y ) -> y = ( x - D ) ) )
77	76	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( y =/= ( x - D ) -> D =/= ( x - y ) ) )
78	77	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ ( y e. ( 0 ... x ) /\ y =/= ( x - D ) ) ) -> D =/= ( x - y ) )
79	67, 78	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> D =/= ( x - y ) )
80	20, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 61, 62, 63, 66, 79	coe1tmfv2 19645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = .0. )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) )
82	5, 15, 20	ringrz 18588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` A ) ` y ) e. K ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. )
83	42, 49, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. )
84	64, 83	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. )
85	81, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
86	85, 25	suppss2 7329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) supp .0. ) C_ { ( x - D ) } )
87	5, 20, 23, 25, 41, 60, 86	gsumpt 18361	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - D ) -> ( (coe1 ` A ) ` y ) = ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - D ) -> ( x - y ) = ( x - ( x - D ) ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - D ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) )
91	88, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x - D ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) )
92		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) e. _V
93	91, 59, 92	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) )
94	41, 93	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) )
95	28	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. CC )
96	27	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. CC )
97	95, 96	nncand 10397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - ( x - D ) ) = D )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) = ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) )
99	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> C e. K )
100	20, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1tmfv1 19644	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C )
101	21, 99, 27, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C )
102	98, 101	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) = C )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) )
104	87, 94, 103	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) )
105	104	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) )
106	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> R e. Ring )
107	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> C e. K )
108	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D e. NN0 )
109	54	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) e. NN0 )
110	54	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> ( x - y ) e. RR )
111	110	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) e. RR )
112	33	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> x e. RR )
113	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D e. RR )
114	47	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> y e. NN0 )
115	114	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> 0 <_ y )
116	47	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. RR )
117	116	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> y e. RR )
118	112, 117	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( x - y ) <_ x ) )
119	115, 118	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) <_ x )
120		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> -. D <_ x )
121	112, 113	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x < D <-> -. D <_ x ) )
122	120, 121	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> x < D )
123	111, 112, 113, 119, 122	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) < D )
124	111, 123	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D =/= ( x - y ) )
125	20, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124	coe1tmfv2 19645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = .0. )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) )
127	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> (coe1 ` A ) : NN0 --> K )
128	127, 114	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( (coe1 ` A ) ` y ) e. K )
129	106, 128, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. )
130	126, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
131	130	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. )
132	131	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) )
133	132	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) )
134	1, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Mnd )
135	20	gsumz 17374	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... x ) e. _V ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. )
136	134, 24, 135	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. )
137	136	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. )
138	133, 137	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. )
139	18, 19, 105, 138	ifbothda 4123	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) )
140	139	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN0 |-> ( R gsumg ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( (coe1 ` A ) ` y ) .X. ( (coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) )
141	17, 140	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> (coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( (coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  19648  coe1sclmul2  19654