Theorem decadd 11570

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decadd.e	|- ( A + C ) = E
decadd.f	|- ( B + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
decadd	|- ( M + N ) = ; E F

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 11516	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 11497	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2644	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 11497	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2644	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decadd.e	. . 3 |- ( A + C ) = E
13		decadd.f	. . 3 |- ( B + D ) = F
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 11560	. 2 |- ( M + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
15		dfdec10 11497	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
16	14, 15	eqtr4i 2647	1 |- ( M + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292  ;cdc 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494

This theorem is referenced by:  decaddm10  11578  decaddi  11579  10p10e20  11628  10p10e20OLD  11629  dec5dvds2  15769  2exp16  15797  37prm  15828  43prm  15829  317prm  15833  631prm  15834  1259lem2  15839  1259lem3  15840  1259lem4  15841  2503lem1  15844  2503lem2  15845  4001lem1  15848  4001lem2  15849  4001lem3  15850  log2ublem3  24675  log2ub  24676  1kp2ke3k  27303  hgt750lemd  30726  hgt750lem2  30730  fmtno5lem4  41468  257prm  41473  fmtno4prmfac  41484  fmtno4nprmfac193  41486  fmtno5faclem3  41493  fmtno5fac  41494