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Theorem log2ub 24676

Description:

is less than

. If written in decimal, this is because

0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
log2ub	;; ;;

**Proof of Theorem log2ub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 11138	. . . . . . . . 9
2	1	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
3	2	sumeq1i 14428	. . . . . . 7
4	3	oveq2i 6661	. . . . . 6
5		4nn0 11311	. . . . . . 7
6		log2tlbnd 24672	. . . . . . 7
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6
8	4, 7	eqeltrri 2698	. . . . 5
9		0re 10040	. . . . . 6
10		3re 11094	. . . . . . 7
11		4nn 11187	. . . . . . . . 9
12		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10
13		1nn 11031	. . . . . . . . . 10
14	12, 5, 13	numnncl 11507	. . . . . . . . 9
15	11, 14	nnmulcli 11044	. . . . . . . 8
16		9nn 11192	. . . . . . . . 9
17		nnexpcl 12873	. . . . . . . . 9 $/\$
18	16, 5, 17	mp2an 708	. . . . . . . 8
19	15, 18	nnmulcli 11044	. . . . . . 7
20		nndivre 11056	. . . . . . 7 $/\$
21	10, 19, 20	mp2an 708	. . . . . 6
22	9, 21	elicc2i 12239	. . . . 5 $/\$ $/\$
23	8, 22	mpbi 220	. . . 4 $/\$ $/\$
24	23	simp3i 1072	. . 3
25		2rp 11837	. . . . 5
26		relogcl 24322	. . . . 5
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4
28		fzfid 12772	. . . . . 6
29		2re 11090	. . . . . . 7
30		3nn 11186	. . . . . . . . 9
31		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . 12
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . 11 $/\$
34	12, 32, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$
35		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
37		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 $/\$
38	30, 36, 37	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
39		nnexpcl 12873	. . . . . . . . 9 $/\$
40	16, 32, 39	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
41	38, 40	nnmulcld 11068	. . . . . . 7 $/\$
42		nndivre 11056	. . . . . . 7 $/\$
43	29, 41, 42	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
44	28, 43	fsumrecl 14465	. . . . 5
45	44	trud 1493	. . . 4
46	27, 45, 21	lesubadd2i 10588	. . 3
47	24, 46	mpbi 220	. 2
48		log2ublem3 24675	. . . . 5 ;;;;
49		3nn0 11310	. . . . 5
50		5nn0 11312	. . . . . . . . 9
51	50, 49	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;
52		0nn0 11307	. . . . . . . 8
53	51, 52	deccl 11512	. . . . . . 7 ;;
54	53, 50	deccl 11512	. . . . . 6 ;;;
55		6nn0 11313	. . . . . 6
56	54, 55	deccl 11512	. . . . 5 ;;;;
57		1nn0 11308	. . . . 5
58		eqid 2622	. . . . 5
59		6p1e7 11156	. . . . . 6
60		eqid 2622	. . . . . 6 ;;;; ;;;;
61	54, 55, 59, 60	decsuc 11535	. . . . 5 ;;;; ;;;;
62		5nn 11188	. . . . . . . . . 10
63		7nn 11190	. . . . . . . . . 10
64	62, 63	nnmulcli 11044	. . . . . . . . 9
65	64	nnrei 11029	. . . . . . . 8
66	15	nnrei 11029	. . . . . . . 8
67		6nn 11189	. . . . . . . . . 10
68		5lt6 11204	. . . . . . . . . 10
69	49, 50, 67, 68	declt 11530	. . . . . . . . 9 ; ;
70		7cn 11104	. . . . . . . . . 10
71		5cn 11100	. . . . . . . . . 10
72		7t5e35 11651	. . . . . . . . . 10 ;
73	70, 71, 72	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 ;
74		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . 14
75		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14
76		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . 14
77	74, 75, 76	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . 13
78	77	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
79		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . . 12
80	78, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
81	80	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
82		9cn 11108	. . . . . . . . . . 11
83		9t4e36 11665	. . . . . . . . . . 11 ;
84	82, 74, 83	mulcomli 10047	. . . . . . . . . 10 ;
85	81, 84	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ;
86	69, 73, 85	3brtr4i 4683	. . . . . . . 8
87	65, 66, 86	ltleii 10160	. . . . . . 7
88	18	nngt0i 11054	. . . . . . . 8
89	18	nnrei 11029	. . . . . . . . 9
90	65, 66, 89	lemul2i 10947	. . . . . . . 8
91	88, 90	ax-mp 5	. . . . . . 7
92	87, 91	mpbi 220	. . . . . 6
93		7nn0 11314	. . . . . . . . . 10
94		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	30, 93, 94	mp2an 708	. . . . . . . . 9
96	95	nncni 11030	. . . . . . . 8
97	64	nncni 11030	. . . . . . . 8
98		3cn 11095	. . . . . . . 8
99	96, 97, 98	mul32i 10232	. . . . . . 7
100	74, 75	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . 12
101		df-8 11085	. . . . . . . . . . . 12
102	76, 100, 101	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . 11
103	102	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
104		expmul 12905	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
105	98, 12, 5, 104	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
106	103, 105	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9
107		expp1 12867	. . . . . . . . . 10 $/\$
108	98, 93, 107	mp2an 708	. . . . . . . . 9
109		sq3 12961	. . . . . . . . . 10
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
111	106, 108, 110	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8
112	111	oveq1i 6660	. . . . . . 7
113	99, 112	eqtri 2644	. . . . . 6
114	15	nncni 11030	. . . . . . . . 9
115	18	nncni 11030	. . . . . . . . 9
116	114, 115	mulcomi 10046	. . . . . . . 8
117	116	oveq1i 6660	. . . . . . 7
118	115, 114	mulcli 10045	. . . . . . . 8
119	118	mulid1i 10042	. . . . . . 7
120	117, 119	eqtri 2644	. . . . . 6
121	92, 113, 120	3brtr4i 4683	. . . . 5
122	48, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121	log2ublem1 24673	. . . 4 ;;;;
123	45, 21	readdcli 10053	. . . . 5
124	54, 93	deccl 11512	. . . . . 6 ;;;;
125	124	nn0rei 11303	. . . . 5 ;;;;
126	95, 64	nnmulcli 11044	. . . . . . 7
127	126	nnrei 11029	. . . . . 6
128	126	nngt0i 11054	. . . . . 6
129	127, 128	pm3.2i 471	. . . . 5 $/\$
130		lemuldiv2 10904	. . . . 5 $/\$ ;;;; $/\$ $/\$ ;;;; ;;;;
131	123, 125, 129, 130	mp3an 1424	. . . 4 ;;;; ;;;;
132	122, 131	mpbi 220	. . 3 ;;;;
133		8nn0 11315	. . . . . . . . . . . . 13
134	49, 133	deccl 11512	. . . . . . . . . . . 12 ;
135	134, 93	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;;
136	135, 49	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;;;
137	136, 57	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;;;
138	137, 55	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;;;;;
139	137, 93	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;;;;;
140		1lt10 11681	. . . . . . . 8 ;
141		6lt7 11209	. . . . . . . . 9
142	137, 55, 63, 141	declt 11530	. . . . . . . 8 ;;;;; ;;;;;
143	138, 139, 57, 93, 140, 142	decltc 11532	. . . . . . 7 ;;;;;; ;;;;;;
144		eqid 2622	. . . . . . . 8 ; ;
145	57, 50	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
146		9nn0 11316	. . . . . . . . . . 11
147	145, 146	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;;
148	147, 57	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;;
149	148, 93	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;;;;
150		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ;;;; ;;;;
151		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ;;;; ;;;;
152		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ;;; ;;;
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ;;; ;;;
154		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12
155		5p1e6 11155	. . . . . . . . . . . 12
156	71, 154, 155	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11
157	147, 57, 50, 153, 156	decaddi 11579	. . . . . . . . . 10 ;;; ;;;
158	57, 55	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
159		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ;; ;;
160		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
161		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
162	57, 50, 155, 161	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
163		9p4e13 11622	. . . . . . . . . . . 12 ;
164	145, 146, 5, 160, 162, 49, 163	decaddci 11580	. . . . . . . . . . 11 ;; ;;
165		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
166	158	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ;
167	166	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
168		1p2e3 11152	. . . . . . . . . . . . . 14
169	168	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
170		5p3e8 11166	. . . . . . . . . . . . . 14
171	49, 50, 49, 73, 170	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . 13 ;
172	169, 171	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
173		7t3e21 11649	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
174	70, 98, 173	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . 13 ;
175		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . 14
176	175, 154, 59	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13
177	12, 57, 55, 174, 176	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . 12 ;
178	50, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ; ; ;;
179	70	mul02i 10225	. . . . . . . . . . . . 13
180	179	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
181	98	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . 13
182	49	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ;
183	181, 182	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
184	180, 183	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ;
185	51, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ;; ;; ;;;
186		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . 11
187		6p5e11 11600	. . . . . . . . . . . 12 ;
188	175, 71, 187	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11 ;
189	49, 50, 55, 73, 186, 57, 188	decaddci 11580	. . . . . . . . . 10 ;
190	53, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ;;; ;;; ;;;;
191		7t7e49 11653	. . . . . . . . . 10 ;
192		4p1e5 11154	. . . . . . . . . 10
193		9p7e16 11625	. . . . . . . . . 10 ;
194	5, 146, 93, 191, 192, 55, 193	decaddci 11580	. . . . . . . . 9 ;
195	54, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194	decmac 11566	. . . . . . . 8 ;;;; ;;;; ;;;;;
196	12	dec0h 11522	. . . . . . . . . 10 ;
197	154	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . 12
198	57	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . 12 ;
199	197, 198	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ;
200		00id 10211	. . . . . . . . . . . . 13
201	52	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ;
202	200, 201	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
203		5t3e15 11635	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
204	203	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ;
205	145	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
206	205	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
207	204, 206	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
208		3t3e9 11180	. . . . . . . . . . . . . 14
209	208	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
210	82	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . 13
211	209, 210	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
212	50, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211	decma 11564	. . . . . . . . . . 11 ; ;;
213	98	mul02i 10225	. . . . . . . . . . . . 13
214	213	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
215	214, 199	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ;
216	51, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ;; ;;;
217		5p2e7 11165	. . . . . . . . . . 11
218	57, 50, 12, 203, 217	decaddi 11579	. . . . . . . . . 10 ;
219	53, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ;;; ;;;;
220	49, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173	decmul1c 11587	. . . . . . . 8 ;;;; ;;;;;
221	124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ;;;; ; ;;;;;;
222	50, 50	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
223	222, 49	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;;
224	223, 49	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;;
225	224, 57	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;;;;
226	12, 50	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;
227	226, 49	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;
228	12, 57	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;
229	228, 133	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;
230	93, 12	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
231		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . 13
232	98, 75, 231	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12
233		3exp3 15798	. . . . . . . . . . . 12 ;
234	12, 93	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ;
235		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
236	57, 133	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ;
237		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
238		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16
239	238, 168	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . 15
240		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . . . . 15
241	239, 240	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
242		7t2e14 11648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
243		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15
244		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . . . . 16
245		8p4e12 11614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
246	244, 74, 245	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
247	57, 5, 133, 242, 243, 12, 246	decaddci 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
248	12, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ; ; ;
249	70, 75, 242	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
250		4p4e8 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15
251	57, 5, 5, 249, 250	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
252	93, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191	decmul1c 11587	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;;
253	234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252	decmul2c 11589	. . . . . . . . . . . 12 ; ; ;;
254	49, 49, 232, 233, 253	numexp2x 15783	. . . . . . . . . . 11 ;;
255		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
256	232	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
257		6p2e8 11169	. . . . . . . . . . . . 13
258	256, 257	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
259	93, 12, 12, 255, 49, 173, 258	decrmanc 11576	. . . . . . . . . . 11 ; ;;
260		9t3e27 11664	. . . . . . . . . . 11 ;
261	49, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260	decmul1c 11587	. . . . . . . . . 10 ;;;
262	49, 55, 59, 261	numexpp1 15782	. . . . . . . . 9 ;;;
263	57, 93	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;
264	263, 93	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;;
265		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ;; ;;
266		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ;; ;;
267	12, 52	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
268	267, 49	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;;
269	12, 12	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ;
270		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ; ;
271		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
272		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
273		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
274	75	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . 14
275	154	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . 14
276	52, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
277	12, 57, 243, 276	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
278		7p3e10 11603	. . . . . . . . . . . 12 ;
279	57, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278	decaddc2 11575	. . . . . . . . . . 11 ; ;; ;;
280		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
281		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
282		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
283		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . 13
284	71, 75, 217	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13
285	12, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284	decadd 11570	. . . . . . . . . . . 12 ; ; ;
286	50	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
287	192, 286	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ;
288	238, 197	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14
289	288, 192	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
290		5t2e10 11634	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
291	71	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . 14
292	57, 52, 50, 290, 291	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . 13 ;
293	12, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292	decmac 11566	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
294	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
295		7p6e13 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
296	70, 175, 295	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13 ;
297	294, 296	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
298	226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ;; ; ; ;;
299	227	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ;;
300	299	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . 13 ;; ;;
301	300	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
302	299	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
303	301, 302	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ;; ;;
304	12, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ;; ; ; ;; ;;;
305	93	dec0h 11522	. . . . . . . . . . 11 ;
306	74	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . 14
307	306	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
308		8t2e16 11654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
309	244, 75, 308	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
310		6p4e10 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
311	57, 55, 5, 309, 243, 310	decaddci2 11581	. . . . . . . . . . . . 13 ;
312	307, 311	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
313		8t5e40 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
314	244, 71, 313	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . 13 ;
315	5, 52, 49, 314, 181	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . 12 ;
316	12, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ; ;;
317		8t3e24 11655	. . . . . . . . . . . . 13 ;
318	244, 98, 317	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12 ;
319		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . 12
320		7p4e11 11605	. . . . . . . . . . . . 13 ;
321	70, 74, 320	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ;
322	12, 5, 93, 318, 319, 57, 321	decaddci 11580	. . . . . . . . . . 11 ;
323	226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ;; ;;;
324	228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ;; ;; ;; ;;;;
325	57, 5, 49, 249, 240	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ;
326	49, 50, 12, 73, 217	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ;
327	12, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326	decrmac 11577	. . . . . . . . . 10 ; ;;
328	93, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174	decmul1c 11587	. . . . . . . . 9 ;; ;;;
329	227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ;; ;;;;;
330		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ;;;; ;;;;
331		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ;;; ;;;
332		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ;; ;;
333		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
334	274, 196	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
335	181	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
336	335, 171	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
337	50, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ; ;;
338	12, 57, 12, 174, 168	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ;
339	222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ;; ;;;
340	93, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174	decmul1c 11587	. . . . . . . . 9 ;;; ;;;;
341	70	mulid2i 10043	. . . . . . . . 9
342	93, 224, 57, 330, 93, 340, 341	decmul1 11585	. . . . . . . 8 ;;;; ;;;;;
343	93, 225, 57, 329, 93, 342, 341	decmul1 11585	. . . . . . 7 ;; ;;;;;;
344	143, 221, 343	3brtr4i 4683	. . . . . 6 ;;;; ; ;;
345	93, 49	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;
346	124, 345	nn0mulcli 11331	. . . . . . . 8 ;;;; ;
347	346	nn0rei 11303	. . . . . . 7 ;;;; ;
348	49, 93	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . 10
349	227, 348	nn0mulcli 11331	. . . . . . . . 9 ;;
350	349, 93	nn0mulcli 11331	. . . . . . . 8 ;;
351	350	nn0rei 11303	. . . . . . 7 ;;
352	62	nnrei 11029	. . . . . . 7
353	62	nngt0i 11054	. . . . . . 7
354	347, 351, 352, 353	ltmul1ii 10952	. . . . . 6 ;;;; ; ;; ;;;; ; ;;
355	344, 354	mpbi 220	. . . . 5 ;;;; ; ;;
356	124	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ;;;;
357	345	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ;
358	356, 357, 71	mulassi 10049	. . . . . 6 ;;;; ; ;;;; ;
359	49, 50, 155, 72	decsuc 11535	. . . . . . . 8 ;
360	71, 98, 203	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 ;
361	50, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360	decmul1c 11587	. . . . . . 7 ; ;;
362	361	oveq2i 6661	. . . . . 6 ;;;; ; ;;;; ;;
363	358, 362	eqtri 2644	. . . . 5 ;;;; ; ;;;; ;;
364	299, 96	mulcli 10045	. . . . . . 7 ;;
365	364, 70, 71	mulassi 10049	. . . . . 6 ;; ;;
366	70, 71	mulcomi 10046	. . . . . . . 8
367	366	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ;; ;;
368	299, 96, 97	mulassi 10049	. . . . . . 7 ;; ;;
369	367, 368	eqtri 2644	. . . . . 6 ;; ;;
370	365, 369	eqtri 2644	. . . . 5 ;; ;;
371	355, 363, 370	3brtr3i 4682	. . . 4 ;;;; ;; ;;
372	49, 55	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;
373	372, 62	decnncl 11518	. . . . . . 7 ;;
374	373	nnrei 11029	. . . . . 6 ;;
375	373	nngt0i 11054	. . . . . 6 ;;
376	374, 375	pm3.2i 471	. . . . 5 ;; $/\$ ;;
377	227	nn0rei 11303	. . . . 5 ;;
378		lt2mul2div 10901	. . . . 5 ;;;; $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ $/\$ ;;;; ;; ;; ;;;; ;; ;;
379	125, 376, 377, 129, 378	mp4an 709	. . . 4 ;;;; ;; ;; ;;;; ;; ;;
380	371, 379	mpbi 220	. . 3 ;;;; ;; ;;
381		nndivre 11056	. . . . 5 ;;;; $/\$ ;;;;
382	125, 126, 381	mp2an 708	. . . 4 ;;;;
383		nndivre 11056	. . . . 5 ;; $/\$ ;; ;; ;;
384	377, 373, 383	mp2an 708	. . . 4 ;; ;;
385	123, 382, 384	lelttri 10164	. . 3 ;;;; $/\$ ;;;; ;; ;; ;; ;;
386	132, 380, 385	mp2an 708	. 2 ;; ;;
387	27, 123, 384	lelttri 10164	. 2 $/\$ ;; ;; ;; ;;
388	47, 386, 387	mp2an 708	1 ;; ;;

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c5 11073

c6 11074

c7 11075

c8 11076

c9 11077

cn0 11292 ;cdc 11493

crp 11832

cicc 12178

cfz 12326

cexp 12860

csu 14416

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ulm 24131 df-log 24303 df-atan 24594

This theorem is referenced by: log2le1 24677 birthday 24681

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