Theorem fmtno4prmfac 41484

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac	|- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) /\ P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) )

Proof of Theorem fmtno4prmfac

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
2		4z 11411	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
4		4re 11097	. . . . . 6 |- 4 e. RR
5		2lt4 11198	. . . . . 6 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 10160	. . . . 5 |- 2 <_ 4
7		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1244	. . . 4 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
9		fmtnoprmfac2 41479	. . . 4 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> E. k e. NN P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) )
10	8, 9	mp3an1 1411	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> E. k e. NN P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) )
11		elnnuz 11724	. . . . . . 7 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
12		4nn 11187	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
13		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	12, 13	eleqtri 2699	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ( ZZ>= ` 1 )
15		fzouzsplit 12503	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1..^ 4 ) u. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1..^ 4 ) u. ( ZZ>= ` 4 ) )
17	16	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> k e. ( ( 1..^ 4 ) u. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
18		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 1..^ 4 ) u. ( ZZ>= ` 4 ) ) <-> ( k e. ( 1..^ 4 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
19		fzo1to4tp 12556	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1..^ 4 ) = { 1 , 2 , 3 }
20	19	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1..^ 4 ) <-> k e. { 1 , 2 , 3 } )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- k e. _V
22	21	eltp 4230	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { 1 , 2 , 3 } <-> ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) )
23	20, 22	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1..^ 4 ) <-> ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) )
24	23	orbi1i 542	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( 1..^ 4 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) <-> ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
25	18, 24	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( 1..^ 4 ) u. ( ZZ>= ` 4 ) ) <-> ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
26	11, 17, 25	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) )
27		4p2e6 11162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 + 2 ) = 6
28	27	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) = ( 2 ^ 6 )
29		2exp6 15795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 6 ) = ; 6 4
30	28, 29	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) = ; 6 4
31	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) = ( k x. ; 6 4 )
32	31	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 )
33	32	eqeq2i 2634	. . . . . . . 8 |- ( P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) <-> P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
34		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 1 ) -> P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 1 -> ( k x. ; 6 4 ) = ( 1 x. ; 6 4 ) )
36		6nn0 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 6 e. NN0
37		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 4 e. NN0
38	36, 37	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 6 4 e. NN0
39	38	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 6 4 e. CC
40	39	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 x. ; 6 4 ) = ; 6 4
41	35, 40	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 1 -> ( k x. ; 6 4 ) = ; 6 4 )
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = (; 6 4 + 1 ) )
43		4p1e5 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 + 1 ) = 5
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ; 6 4 = ; 6 4
45	36, 37, 43, 44	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (; 6 4 + 1 ) = ; 6 5
46	42, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ; 6 5 )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 1 ) -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ; 6 5 )
48	34, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 1 ) -> P = ; 6 5 )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( k = 1 -> P = ; 6 5 ) )
50		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 2 ) -> P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 2 -> ( k x. ; 6 4 ) = ( 2 x. ; 6 4 ) )
52		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. NN0
53		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 6 e. CC
54		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. CC
55		6t2e12 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
56	53, 54, 55	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 6 ) = ; 1 2
57	56	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 1 2 = ( 2 x. 6 )
58		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 4 e. CC
59		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 x. 2 ) = 8
60	58, 54, 59	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 4 ) = 8
61	60	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 = ( 2 x. 4 )
62	36, 37, 52, 57, 61	decmul10add 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. ; 6 4 ) = (;; 1 2 0 + 8 )
63	51, 62	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 2 -> ( k x. ; 6 4 ) = (;; 1 2 0 + 8 ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 2 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ( (;; 1 2 0 + 8 ) + 1 ) )
65		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. NN0
66	65, 52	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ; 1 2 e. NN0
67		8nn0 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 e. NN0
68		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 8 + 1 ) = 9
69		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. NN0
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ;; 1 2 0 = ;; 1 2 0
71		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 e. CC
72	71	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 + 8 ) = 8
73	66, 69, 67, 70, 72	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (;; 1 2 0 + 8 ) = ;; 1 2 8
74	66, 67, 68, 73	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (;; 1 2 0 + 8 ) + 1 ) = ;; 1 2 9
75	64, 74	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 2 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ;; 1 2 9 )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 2 ) -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ;; 1 2 9 )
77	50, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 2 ) -> P = ;; 1 2 9 )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( k = 2 -> P = ;; 1 2 9 ) )
79		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 3 ) -> P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 3 -> ( k x. ; 6 4 ) = ( 3 x. ; 6 4 ) )
81		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. NN0
82		6t3e18 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
83		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. CC
84	53, 83	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 6 x. 3 ) = ( 3 x. 6 )
85	82, 84	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 1 8 = ( 3 x. 6 )
86		4t3e12 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
87	58, 83	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 4 x. 3 ) = ( 3 x. 4 )
88	86, 87	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 1 2 = ( 3 x. 4 )
89	36, 37, 81, 85, 88	decmul10add 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. ; 6 4 ) = (;; 1 8 0 + ; 1 2 )
90	80, 89	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 3 -> ( k x. ; 6 4 ) = (;; 1 8 0 + ; 1 2 ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 3 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ( (;; 1 8 0 + ; 1 2 ) + 1 ) )
92		9nn0 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 9 e. NN0
93	65, 92	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ; 1 9 e. NN0
94		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 1 ) = 3
95	65, 67	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ; 1 8 e. NN0
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ;; 1 8 0 = ;; 1 8 0
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ; 1 2 = ; 1 2
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 1 8 = ; 1 8
99	65, 67, 68, 98	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (; 1 8 + 1 ) = ; 1 9
100	54	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 + 2 ) = 2
101	95, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (;; 1 8 0 + ; 1 2 ) = ;; 1 9 2
102	93, 52, 94, 101	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (;; 1 8 0 + ; 1 2 ) + 1 ) = ;; 1 9 3
103	91, 102	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 3 -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ;; 1 9 3 )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 3 ) -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) = ;; 1 9 3 )
105	79, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) /\ k = 3 ) -> P = ;; 1 9 3 )
106	105	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( k = 3 -> P = ;; 1 9 3 ) )
107	49, 78, 106	3orim123d 1407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
109	108	com13 88	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) -> ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
110		fmtno4sqrt 41483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) = ;; 2 5 6
111	110	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) <-> P <_ ;; 2 5 6 )
112		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( P <_ ;; 2 5 6 <-> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 ) )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) /\ P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) -> ( P <_ ;; 2 5 6 <-> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 ) )
114		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 4 <_ k ) )
115		6t4e24 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
116	53, 58, 115	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 x. 6 ) = ; 2 4
117	52, 37, 43, 116	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 4 x. 6 ) + 1 ) = ; 2 5
118		4t4e16 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 4 x. 4 ) = ; 1 6
119	37, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118	decmul2c 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 x. ; 6 4 ) = ;; 2 5 6
120		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
121	38	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 6 4 e. RR
122	36, 12	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ; 6 4 e. NN
123	122	nngt0i 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 < ; 6 4
124	121, 123	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (; 6 4 e. RR /\ 0 < ; 6 4 )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> (; 6 4 e. RR /\ 0 < ; 6 4 ) )
126		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 4 e. RR /\ k e. RR /\ (; 6 4 e. RR /\ 0 < ; 6 4 ) ) -> ( 4 <_ k <-> ( 4 x. ; 6 4 ) <_ ( k x. ; 6 4 ) ) )
127	4, 120, 125, 126	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( 4 <_ k <-> ( 4 x. ; 6 4 ) <_ ( k x. ; 6 4 ) ) )
128	127	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> ( 4 x. ; 6 4 ) <_ ( k x. ; 6 4 ) )
129	119, 128	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> ;; 2 5 6 <_ ( k x. ; 6 4 ) )
130		5nn0 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 5 e. NN0
131	52, 130	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ; 2 5 e. NN0
132	131, 36	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ;; 2 5 6 e. NN0
133	132	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ;; 2 5 6 e. ZZ
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. ZZ )
135	38	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ; 6 4 e. ZZ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ; 6 4 e. ZZ )
137	134, 136	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( k x. ; 6 4 ) e. ZZ )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> ( k x. ; 6 4 ) e. ZZ )
139		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (;; 2 5 6 e. ZZ /\ ( k x. ; 6 4 ) e. ZZ ) -> (;; 2 5 6 <_ ( k x. ; 6 4 ) <-> ;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) )
140	133, 138, 139	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> (;; 2 5 6 <_ ( k x. ; 6 4 ) <-> ;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) )
141	129, 140	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> ;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
142	141	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 4 <_ k ) -> ;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
143	114, 142	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) )
144	132	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ;; 2 5 6 e. RR
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ;; 2 5 6 e. RR )
146		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> k e. RR )
147	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ; 6 4 e. RR )
148	146, 147	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( k x. ; 6 4 ) e. RR )
149		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k x. ; 6 4 ) e. RR -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) e. RR )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) e. RR )
151	145, 150	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> (;; 2 5 6 < ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <-> -. ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 ) )
152	143, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> -. ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 )
153	152	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) /\ P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) -> ( ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) <_ ;; 2 5 6 -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
155	113, 154	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) /\ P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) -> ( P <_ ;; 2 5 6 -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
156	111, 155	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) /\ P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
157	156	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
158	109, 157	jaoi 394	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) -> ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
159	158	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) /\ ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ( ( k x. ; 6 4 ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
160	33, 159	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) /\ ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
161	160	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 ) \/ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ) -> ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> ( P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) ) )
162	26, 161	sylbi 207	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> ( P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) ) )
163	162	com12 32	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> ( k e. NN -> ( P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) ) )
164	163	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> ( E. k e. NN P = ( ( k x. ( 2 ^ ( 4 + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) ) )
165	10, 164	mpd 15	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) ) -> ( P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) ) )
166	165	3impia 1261	1 |- ( ( P e. Prime /\ P || (FermatNo ` 4 ) /\ P <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) -> ( P = ; 6 5 \/ P = ;; 1 2 9 \/ P = ;; 1 9 3 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   8c8 11076   9c9 11077   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   || cdvds 14983   Primecprime 15385  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542  df-lgs 25020  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  41485