Theorem 257prm 41473

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	|- ;; 2 5 7 e. Prime

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11309	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		5nn0 11312	. . . 4 |- 5 e. NN0
3	1, 2	deccl 11512	. . 3 |- ; 2 5 e. NN0
4		7nn 11190	. . 3 |- 7 e. NN
5	3, 4	decnncl 11518	. 2 |- ;; 2 5 7 e. NN
6		8nn0 11315	. . 3 |- 8 e. NN0
7		4nn0 11311	. . 3 |- 4 e. NN0
8		7nn0 11314	. . 3 |- 7 e. NN0
9		1nn0 11308	. . 3 |- 1 e. NN0
10		2lt8 11220	. . 3 |- 2 < 8
11		5lt10 11677	. . 3 |- 5 < ; 1 0
12		7lt10 11675	. . 3 |- 7 < ; 1 0
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 11538	. 2 |- ;; 2 5 7 < ;; 8 4 1
14		5nn 11188	. . . 4 |- 5 e. NN
15	1, 14	decnncl 11518	. . 3 |- ; 2 5 e. NN
16		1lt10 11681	. . 3 |- 1 < ; 1 0
17	15, 8, 9, 16	declti 11546	. 2 |- 1 < ;; 2 5 7
18		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
19		3t2e6 11179	. . 3 |- ( 3 x. 2 ) = 6
20		df-7 11084	. . 3 |- 7 = ( 6 + 1 )
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 15767	. 2 |- -. 2 || ;; 2 5 7
22		3nn 11186	. . . 4 |- 3 e. NN
23		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
24		3cn 11095	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
25	24	mulid1i 10042	. . . . . 6 |- ( 3 x. 1 ) = 3
26	25	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 1 ) + 2 ) = ( 3 + 2 )
27		3p2e5 11160	. . . . 5 |- ( 3 + 2 ) = 5
28	26, 27	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) + 2 ) = 5
29		2lt3 11195	. . . 4 |- 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 15136	. . 3 |- -. 3 || 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 15056	. . . 4 |- ( 3 || ;; 2 5 7 <-> 3 || ( ( 2 + 5 ) + 7 ) )
32		5cn 11100	. . . . . . . 8 |- 5 e. CC
33		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
34		5p2e7 11165	. . . . . . . 8 |- ( 5 + 2 ) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 10228	. . . . . . 7 |- ( 2 + 5 ) = 7
36	35	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 5 ) + 7 ) = ( 7 + 7 )
37		7p7e14 11609	. . . . . 6 |- ( 7 + 7 ) = ; 1 4
38	36, 37	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( 2 + 5 ) + 7 ) = ; 1 4
39	38	breq2i 4661	. . . 4 |- ( 3 || ( ( 2 + 5 ) + 7 ) <-> 3 || ; 1 4 )
40	9, 7	3dvdsdec 15054	. . . . 5 |- ( 3 || ; 1 4 <-> 3 || ( 1 + 4 ) )
41		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
42		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
43		4p1e5 11154	. . . . . . 7 |- ( 4 + 1 ) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 1 + 4 ) = 5
45	44	breq2i 4661	. . . . 5 |- ( 3 || ( 1 + 4 ) <-> 3 || 5 )
46	40, 45	bitri 264	. . . 4 |- ( 3 || ; 1 4 <-> 3 || 5 )
47	31, 39, 46	3bitri 286	. . 3 |- ( 3 || ;; 2 5 7 <-> 3 || 5 )
48	30, 47	mtbir 313	. 2 |- -. 3 || ;; 2 5 7
49		2lt5 11202	. . 3 |- 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 15769	. 2 |- -. 5 || ;; 2 5 7
51		6nn0 11313	. . . 4 |- 6 e. NN0
52	18, 51	deccl 11512	. . 3 |- ; 3 6 e. NN0
53		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 3 6 = ; 3 6
54		7t3e21 11649	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 11579	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 3 ) + 4 ) = ; 2 5
56		7t6e42 11652	. . . . 5 |- ( 7 x. 6 ) = ; 4 2
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 11589	. . . 4 |- ( 7 x. ; 3 6 ) = ;; 2 5 2
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 11579	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 3 6 ) + 5 ) = ;; 2 5 7
59		5lt7 11210	. . 3 |- 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 15136	. 2 |- -. 7 || ;; 2 5 7
61		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
62	9, 61	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
63	1, 18	deccl 11512	. . 3 |- ; 2 3 e. NN0
64		4nn 11187	. . 3 |- 4 e. NN
65	9, 9	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 1 1 e. NN0
66		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 2 3 = ; 2 3
67	65	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 |- ; 1 1 e. CC
68	67, 33	mulcomi 10046	. . . . . . 7 |- (; 1 1 x. 2 ) = ( 2 x. ; 1 1 )
69	68	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( (; 1 1 x. 2 ) + 3 ) = ( ( 2 x. ; 1 1 ) + 3 )
70	1	11multnc 11592	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ; 1 1 ) = ; 2 2
71	24, 33, 27	addcomli 10228	. . . . . . 7 |- ( 2 + 3 ) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 11579	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. ; 1 1 ) + 3 ) = ; 2 5
73	69, 72	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( (; 1 1 x. 2 ) + 3 ) = ; 2 5
74	18	11multnc 11592	. . . . . 6 |- ( 3 x. ; 1 1 ) = ; 3 3
75	24, 67, 74	mulcomli 10047	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 3 ) = ; 3 3
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 11589	. . . 4 |- (; 1 1 x. ; 2 3 ) = ;; 2 5 3
77		4p3e7 11163	. . . . 5 |- ( 4 + 3 ) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 10228	. . . 4 |- ( 3 + 4 ) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 11579	. . 3 |- ( (; 1 1 x. ; 2 3 ) + 4 ) = ;; 2 5 7
80		4lt10 11678	. . . 4 |- 4 < ; 1 0
81	61, 9, 7, 80	declti 11546	. . 3 |- 4 < ; 1 1
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 1 || ;; 2 5 7
83	9, 22	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
84		9nn0 11316	. . . 4 |- 9 e. NN0
85	9, 84	deccl 11512	. . 3 |- ; 1 9 e. NN0
86		10nn 11514	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
87	9, 18	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ; 1 3 e. NN0
88	87	nn0cni 11304	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. CC
89	85	nn0cni 11304	. . . . . 6 |- ; 1 9 e. CC
90	88, 89	mulcomi 10046	. . . . 5 |- (; 1 3 x. ; 1 9 ) = (; 1 9 x. ; 1 3 )
91	90	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( (; 1 3 x. ; 1 9 ) + ; 1 0 ) = ( (; 1 9 x. ; 1 3 ) + ; 1 0 )
92		0nn0 11307	. . . . 5 |- 0 e. NN0
93		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 1 9 = ; 1 9
94		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 1 0 = ; 1 0
95	88	mulid2i 10043	. . . . . 6 |- ( 1 x. ; 1 3 ) = ; 1 3
96		1p1e2 11134	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
97		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ; 1 1 = ; 1 1
98	9, 9, 96, 97	decsuc 11535	. . . . . . 7 |- (; 1 1 + 1 ) = ; 1 2
99	67, 42, 98	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 1 + ; 1 1 ) = ; 1 2
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 11570	. . . . 5 |- ( ( 1 x. ; 1 3 ) + ( 1 + ; 1 1 ) ) = ; 2 5
101		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ; 1 3 = ; 1 3
102		9cn 11108	. . . . . . . . . . 11 |- 9 e. CC
103	102	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 |- ( 9 x. 1 ) = 9
104	103	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 9 x. 1 ) + 2 ) = ( 9 + 2 )
105		9p2e11 11619	. . . . . . . . 9 |- ( 9 + 2 ) = ; 1 1
106	104, 105	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( 9 x. 1 ) + 2 ) = ; 1 1
107		9t3e27 11664	. . . . . . . 8 |- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 11589	. . . . . . 7 |- ( 9 x. ; 1 3 ) = ;; 1 1 7
109	108	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 9 x. ; 1 3 ) + 0 ) = (;; 1 1 7 + 0 )
110	65, 8	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ;; 1 1 7 e. NN0
111	110	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ;; 1 1 7 e. CC
112	111	addid1i 10223	. . . . . 6 |- (;; 1 1 7 + 0 ) = ;; 1 1 7
113	109, 112	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( 9 x. ; 1 3 ) + 0 ) = ;; 1 1 7
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 11566	. . . 4 |- ( (; 1 9 x. ; 1 3 ) + ; 1 0 ) = ;; 2 5 7
115	91, 114	eqtri 2644	. . 3 |- ( (; 1 3 x. ; 1 9 ) + ; 1 0 ) = ;; 2 5 7
116		3pos 11114	. . . 4 |- 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 11530	. . 3 |- ; 1 0 < ; 1 3
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 3 || ;; 2 5 7
119	9, 4	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
120	9, 2	deccl 11512	. . 3 |- ; 1 5 e. NN0
121	9, 8	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 1 7 e. NN0
122		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 1 5 = ; 1 5
123	121	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ; 1 7 e. CC
124	123	mulid1i 10042	. . . . . 6 |- (; 1 7 x. 1 ) = ; 1 7
125		8cn 11106	. . . . . . 7 |- 8 e. CC
126		7cn 11104	. . . . . . 7 |- 7 e. CC
127		8p7e15 11617	. . . . . . 7 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
128	125, 126, 127	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 7 + 8 ) = ; 1 5
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 11580	. . . . 5 |- ( (; 1 7 x. 1 ) + 8 ) = ; 2 5
130		eqid 2622	. . . . . 6 |- ; 1 7 = ; 1 7
131	32	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 5 ) = 5
132	131	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 5 ) + 3 ) = ( 5 + 3 )
133		5p3e8 11166	. . . . . . 7 |- ( 5 + 3 ) = 8
134	132, 133	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 5 ) + 3 ) = 8
135		7t5e35 11651	. . . . . 6 |- ( 7 x. 5 ) = ; 3 5
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 11587	. . . . 5 |- (; 1 7 x. 5 ) = ; 8 5
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 11589	. . . 4 |- (; 1 7 x. ; 1 5 ) = ;; 2 5 5
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 11579	. . 3 |- ( (; 1 7 x. ; 1 5 ) + 2 ) = ;; 2 5 7
139		2lt10 11680	. . . 4 |- 2 < ; 1 0
140	61, 8, 1, 139	declti 11546	. . 3 |- 2 < ; 1 7
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 7 || ;; 2 5 7
142		9nn 11192	. . . 4 |- 9 e. NN
143	9, 142	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
144		9pos 11122	. . . 4 |- 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 11530	. . 3 |- ; 1 0 < ; 1 9
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 9 || ;; 2 5 7
147	1, 22	decnncl 11518	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 11587	. . . 4 |- (; 2 3 x. ; 1 1 ) = ;; 2 5 3
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 11579	. . 3 |- ( (; 2 3 x. ; 1 1 ) + 4 ) = ;; 2 5 7
150	23, 18, 7, 80	declti 11546	. . 3 |- 4 < ; 2 3
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 2 3 || ;; 2 5 7
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 15827	1 |- ;; 2 5 7 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077  ;cdc 11493   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  41474