Theorem muinv 24919

Description: The Möbius inversion formula. If G ( n ) = sum_ k || n F ( k ) for every n e. NN, then F ( n ) = sum_ k || n mmu ( k ) G ( n / k ) = sum_ k || n mmu ( n / k ) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	|- ( ph -> F : NN --> CC )
muinv.2	|- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
muinv	|- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, j, n, F   x, j, k, m, n   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x)   G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2	1	feqmptd 6249	. 2 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) )
6		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> ( x || m <-> j || m ) )
7	6	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. { x e. NN | x || m } <-> ( j e. NN /\ j || m ) )
8	7	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j || m )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j || m )
10		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j e. NN )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. NN )
12	11	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. ZZ )
13	11	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j =/= 0 )
14		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. ZZ )
16		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ j =/= 0 /\ m e. ZZ ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
18	9, 17	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. ZZ )
19		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
20		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> 0 < m )
21	19, 20	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
22	21	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
23		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR )
24		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < j )
25	23, 24	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
27		divgt0 10891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 < m ) /\ ( j e. RR /\ 0 < j ) ) -> 0 < ( m / j ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> 0 < ( m / j ) )
29		elnnz 11387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / j ) e. NN <-> ( ( m / j ) e. ZZ /\ 0 < ( m / j ) ) )
30	18, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. NN )
31		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m / j ) -> ( x || n <-> x || ( m / j ) ) )
32	31	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m / j ) -> { x e. NN | x || n } = { x e. NN | x || ( m / j ) } )
33	32	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( m / j ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) )
35		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
38	5, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin )
41		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
43		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
44	40, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
45		mucl 24867	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
47	46	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
48	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> F : NN --> CC )
49		elrabi 3359	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } -> k e. NN )
50		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
51	48, 49, 50	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) -> ( F ` k ) e. CC )
52	44, 47, 51	fsummulc2 14516	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
53	39, 52	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
54	53	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
55		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
56	47	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
57	51	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	56, 57	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) e. CC )
59	55, 58	fsumdvdsdiag 24910	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
60		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. NN | x || m } C_ NN
61		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
62	61	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
63	60, 62	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. NN )
64		musum 24917	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / k ) e. NN -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) )
67		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin )
68		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
69	63, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
70		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
71	67, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
72	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : NN --> CC )
73		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. NN | x || m } -> k e. NN )
74	72, 73, 50	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
75		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ NN
76		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } )
77	75, 76	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. NN )
78	77, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
79	78	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
80	71, 74, 79	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
81		ovif 6737	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) )
82		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. CC )
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. CC )
84	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. NN )
85	84	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. CC )
86		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> 1 e. CC )
87	84	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k =/= 0 )
88	83, 85, 86, 87	divmuld 10823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> ( k x. 1 ) = m ) )
89	85	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( k x. 1 ) = k )
90	89	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( k x. 1 ) = m <-> k = m ) )
91	88, 90	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> k = m ) )
92	74	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 x. ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
93	74	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 0 x. ( F ` k ) ) = 0 )
94	91, 92, 93	ifbieq12d 4113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
95	81, 94	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
96	66, 80, 95	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
97	96	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
98	55	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
99		iddvds 14995	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m || m )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m || m )
101		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( x || m <-> m || m ) )
102	101	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( m e. { x e. NN | x || m } <-> ( m e. NN /\ m || m ) )
103	55, 100, 102	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. { x e. NN | x || m } )
104	103	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { m } C_ { x e. NN | x || m } )
105	104	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> k e. { x e. NN | x || m } )
106	105, 74	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
107		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
108		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
109	106, 107, 108	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
110		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) -> k =/= m )
111	110	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> k =/= m )
112	111	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> -. k = m )
113	112	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
114		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
115		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
116	115	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
117		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
118	114, 116, 117	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
119	104, 109, 113, 118	fsumss 14456	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
120	1	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
121		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` k ) )
122		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
123	121, 122	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
124	123	sumsn 14475	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( F ` m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
125	55, 120, 124	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
126	97, 119, 125	3eqtr2d 2662	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( F ` m ) )
127	54, 59, 126	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( F ` m ) )
128	127	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
129	2, 128	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   sum_csu 14416   || cdvds 14983   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  25184  logsqvma2  25232