Theorem serf0 14411

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgb.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serf0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serf0.3	|- ( ph -> F e. V )
serf0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
serf0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serf0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serf0

Dummy variables j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
2		serf0.2	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		caucvgb.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	caucvgb 14410	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
5	2, 1, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
7	3	cau3 14095	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
8	6, 7	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
9	3	peano2uzs 11742	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
11		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
12		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
13		peano2uz 11741	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
17	16	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	11, 12, 13, 18	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	adantld 483	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
21	20	ralimia 2950	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
23	22, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
24		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
26		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27	25, 26	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) = ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( m + 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
31	28, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
36		serf0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
37	3, 2, 36	serf 12829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
39	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
40	22, 39	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
41	27, 40	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
42	38, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
43	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
44	10, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
45	38, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) e. CC )
46	42, 45	abssubd 14192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
47		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
49	48	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
50		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
51		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
52	49, 50, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` k ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) )
56	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
57		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58	23, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
60	59	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
61	58, 60	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
62		seqm1 12818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
63	56, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
65	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
66	44, 65	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
67	42, 66	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
68	64, 67	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
70	46, 55, 69	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
71	70	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
72	35, 71	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
73	72	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
74	21, 73	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
76	75	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
77	76	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
78	10, 74, 77	syl6an 568	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
79	78	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
80	79	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
81	8, 80	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
82		serf0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
83		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
84	3, 2, 82, 83, 36	clim0c 14238	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85	81, 84	mpbird 247	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  mertenslem2  14617  radcnvlem1  24167  dvgrat  38511  expfac  39889