Theorem eupthvdres 27095

Description: Formerly part of proof of eupth2 27099: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	|- V = (Vtx ` G )
eupthvdres.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthvdres.g	|- ( ph -> G e. W )
eupthvdres.f	|- ( ph -> Fun I )
eupthvdres.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthvdres.h	|- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >.

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	|- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 |- ( ph -> G e. W )
2		eupthvdres.h	. . . 4 |- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >.
3		opex 4932	. . . 4 |- <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . 3 |- H e. _V
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> H e. _V )
6	2	fveq2i 6194	. . . 4 |- (Vtx ` H ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. )
7		eupthvdres.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
8		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` G ) e. _V
9	7, 8	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- V e. _V
10		eupthvdres.i	. . . . . . . . 9 |- I = (iEdg ` G )
11		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` G ) e. _V
12	10, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- I e. _V
13	12	resex 5443	. . . . . . 7 |- ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) e. _V
14	9, 13	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) e. _V )
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) e. _V ) )
16		opvtxfv 25884	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. ) = V )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. ) = V )
18	6, 17	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = V )
19	18, 7	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = (Vtx ` G ) )
20	2	fveq2i 6194	. . . . 5 |- (iEdg ` H ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. )
21		opiedgfv 25887	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) )
22	15, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) )
23	20, 22	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) )
24		eupthvdres.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
25	10	eupthf1o 27064	. . . . . . 7 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I )
27		f1ofo 6144	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -onto-> dom I )
28		foima 6120	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -onto-> dom I -> ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) = dom I )
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) = dom I )
30	29	reseq2d 5396	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) = ( I |` dom I ) )
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun I )
32		funfn 5918	. . . . . 6 |- ( Fun I <-> I Fn dom I )
33	31, 32	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> I Fn dom I )
34		fnresdm 6000	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( I |` dom I ) = I )
35	33, 34	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` dom I ) = I )
36	23, 30, 35	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = I )
37	36, 10	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = (iEdg ` G ) )
38	1, 5, 19, 37	vtxdeqd 26373	1 |- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361  EulerPathsceupth 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-eupth 27058

This theorem is referenced by:  eupth2  27099