Theorem evl1gsumdlem 19720

Description: Lemma for evl1gsumd 19721 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	|- O = (eval1 ` R )
evl1gsumd.p	|- P = (Poly1 ` R )
evl1gsumd.b	|- B = ( Base ` R )
evl1gsumd.u	|- U = ( Base ` P )
evl1gsumd.r	|- ( ph -> R e. CRing )
evl1gsumd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumdlem	|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, O   x, U   x, Y   x, a   x, m

Allowed substitution hints:   ph( x, m, a)   B( x, m, a)   P( x, m, a)   R( x, m, a)   U( m, a)   M( x, m, a)   O( m, a)   Y( m, a)

Proof of Theorem evl1gsumdlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 3794	. . 3 |- ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. U <-> ( A. x e. m M e. U /\ A. x e. { a } M e. U ) )
2		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y M
3		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ M
4		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> M = [_ y / x ]_ M )
5	2, 3, 4	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M )
6	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) )
7		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U = ( Base ` P )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> R e. CRing )
10		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. Ring )
12		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = (Poly1 ` R )
13	12	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. Ring )
15		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. CMnd )
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> P e. CMnd )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> P e. CMnd )
19		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> m e. Fin )
20		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. m /\ A. x e. m M e. U ) -> [_ y / x ]_ M e. U )
21	20	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. m M e. U -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. U ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. U ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. U ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ M e. U )
25		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> a e. _V )
27		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> -. a e. m )
28		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. { a }
29		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. { a } /\ A. x e. { a } M e. U ) -> [_ a / x ]_ M e. U )
30	28, 29	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. { a } M e. U -> [_ a / x ]_ M e. U )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> [_ a / x ]_ M e. U )
32		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ M = [_ a / x ]_ M )
33	7, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
34	6, 33	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
35	2, 3, 4	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m |-> M ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M )
36	35	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) = ( x e. m |-> M )
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( P gsumg ( x e. m |-> M ) )
38	37	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M )
39	34, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) = ( O ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) )
41	40	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( ( O ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` Y ) )
42		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = (eval1 ` R )
43		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` R )
44	9	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CRing )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> R e. CRing )
46		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. B )
47	46	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> Y e. B )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> Y e. B )
49		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> A. x e. m M e. U )
50	7, 18, 19, 49	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. U )
51		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) )
52	50, 51	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. U /\ ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) ) )
53		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) = ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) )
54	31, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( [_ a / x ]_ M e. U /\ ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) = ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
56	42, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55	evl1addd 19705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) e. U /\ ( ( O ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) ) )
57	56	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
58	41, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) -> ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
60	58, 59	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( ( O ` M ) ` Y )
62		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y )
63		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( O ` M ) ` Y ) = [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) )
64	61, 62, 63	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) )
65	64	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) )
66		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. CMnd )
68	67	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CMnd )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> R e. CMnd )
70		csbfv12 6231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) = ( [_ y / x ]_ ( O ` M ) ` [_ y / x ]_ Y )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
72		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ ( O ` M ) = ( O ` [_ y / x ]_ M ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ ( O ` M ) = ( O ` [_ y / x ]_ M )
74		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ Y = Y )
75	71, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ Y = Y
76	73, 75	fveq12i 6196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ y / x ]_ ( O ` M ) ` [_ y / x ]_ Y ) = ( ( O ` [_ y / x ]_ M ) ` Y )
77	70, 76	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) = ( ( O ` [_ y / x ]_ M ) ` Y )
78	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ y e. m ) -> R e. CRing )
79	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ y e. m ) -> Y e. B )
80	42, 12, 43, 7, 78, 79, 24	fveval1fvcl 19697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ y e. m ) -> ( ( O ` [_ y / x ]_ M ) ` Y ) e. B )
81	77, 80	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) e. B )
82	42, 12, 43, 7, 45, 48, 31	fveval1fvcl 19697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) e. B )
83		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
84		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x O
85		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ a / x ]_ M
86	84, 85	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( O ` [_ a / x ]_ M )
87		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x Y
88	86, 87	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y )
89		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> M = [_ a / x ]_ M )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( O ` M ) = ( O ` [_ a / x ]_ M ) )
91	90	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( O ` M ) ` Y ) = ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) )
92	83, 88, 91	csbhypf 3552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) = ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) )
93	43, 55, 69, 19, 81, 26, 27, 82, 92	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
94	65, 93	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) )
95	61, 62, 63	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) )
96	95	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) = ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) )
97	96	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) )
98	97	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) )
99	94, 98	syl6req 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ( +g ` R ) ( ( O ` [_ a / x ]_ M ) ` Y ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) )
101	60, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) /\ A. x e. { a } M e. U ) /\ ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) )
102	101	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) -> ( A. x e. { a } M e. U -> ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) )
103	102	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. U ) -> ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) )
104	103	ex 450	. . . . 5 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( A. x e. m M e. U -> ( ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) ) )
105	104	a2d 29	. . . 4 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( A. x e. m M e. U -> ( A. x e. { a } M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) ) )
106	105	imp4b 613	. . 3 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( A. x e. m M e. U /\ A. x e. { a } M e. U ) -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) )
107	1, 106	syl5bi 232	. 2 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) )
108	107	ex 450	1 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. U -> ( ( O ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` Y ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( O ` M ) ` Y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  evl1gsumd  19721