Theorem evls1gsumadd 19689

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	|- Q = ( S evalSub1 R )
evls1gsumadd.k	|- K = ( Base ` S )
evls1gsumadd.w	|- W = (Poly1 ` U )
evls1gsumadd.0	|- .0. = ( 0g ` W )
evls1gsumadd.u	|- U = ( S ↾s R )
evls1gsumadd.p	|- P = ( S ^s K )
evls1gsumadd.b	|- B = ( Base ` W )
evls1gsumadd.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evls1gsumadd.r	|- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
evls1gsumadd.y	|- ( ( ph /\ x e. N ) -> Y e. B )
evls1gsumadd.n	|- ( ph -> N C_ NN0 )
evls1gsumadd.f	|- ( ph -> ( x e. N |-> Y ) finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	|- ( ph -> ( Q ` ( W gsumg ( x e. N |-> Y ) ) ) = ( P gsumg ( x e. N |-> ( Q ` Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   P( x)   R( x)   S( x)   U( x)   K( x)   W( x)   Y( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
2		evls1gsumadd.0	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
3		evls1gsumadd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
4		evls1gsumadd.u	. . . . . 6 |- U = ( S ↾s R )
5	4	subrgring 18783	. . . . 5 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> U e. Ring )
6	3, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U e. Ring )
7		evls1gsumadd.w	. . . . 5 |- W = (Poly1 ` U )
8	7	ply1ring 19618	. . . 4 |- ( U e. Ring -> W e. Ring )
9		ringcmn 18581	. . . 4 |- ( W e. Ring -> W e. CMnd )
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> W e. CMnd )
11		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
12		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( S e. CRing -> S e. Ring )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Ring )
14		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` S )
15		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` S ) e. _V
16	14, 15	eqeltri 2697	. . . . 5 |- K e. _V
17	13, 16	jctir 561	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. Ring /\ K e. _V ) )
18		evls1gsumadd.p	. . . . 5 |- P = ( S ^s K )
19	18	pwsring 18615	. . . 4 |- ( ( S e. Ring /\ K e. _V ) -> P e. Ring )
20		ringmnd 18556	. . . 4 |- ( P e. Ring -> P e. Mnd )
21	17, 19, 20	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> P e. Mnd )
22		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
23	22	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN0 e. _V )
24		evls1gsumadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N C_ NN0 )
25	23, 24	ssexd 4805	. . 3 |- ( ph -> N e. _V )
26		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 |- Q = ( S evalSub1 R )
27	26, 14, 18, 4, 7	evls1rhm 19687	. . . . 5 |- ( ( S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> Q e. ( W RingHom P ) )
28	11, 3, 27	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( W RingHom P ) )
29		rhmghm 18725	. . . 4 |- ( Q e. ( W RingHom P ) -> Q e. ( W GrpHom P ) )
30		ghmmhm 17670	. . . 4 |- ( Q e. ( W GrpHom P ) -> Q e. ( W MndHom P ) )
31	28, 29, 30	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( W MndHom P ) )
32		evls1gsumadd.y	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> Y e. B )
33		evls1gsumadd.f	. . 3 |- ( ph -> ( x e. N |-> Y ) finSupp .0. )
34	1, 2, 10, 21, 25, 31, 32, 33	gsummptmhm 18340	. 2 |- ( ph -> ( P gsumg ( x e. N |-> ( Q ` Y ) ) ) = ( Q ` ( W gsumg ( x e. N |-> Y ) ) ) )
35	34	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> ( Q ` ( W gsumg ( x e. N |-> Y ) ) ) = ( P gsumg ( x e. N |-> ( Q ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   ^_s cpws 16107   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  Poly₁cpl1 19547   evalSub₁ ces1 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evls1 19680

This theorem is referenced by:  evl1gsumadd  19722