Theorem facavg 13088

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0readdcl 11357	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
2	1	rehalfcld 11279	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
3		flle 12600	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
5		reflcl 12597	. . . . . 6 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
7		nn0re 11301	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
9		letr 10131	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
10	6, 2, 8, 9	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
11	4, 10	mpand 711	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
12		nn0addcl 11328	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
14		halfnneg2 11263	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
16	13, 15	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
17		flge0nn0 12621	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
18	2, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
19		simpl 473	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
20		facwordi 13076	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
21	20	3exp 1264	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
22	18, 19, 21	sylc 65	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
23		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
24	23	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
25	24	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
26	25	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
27		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
28	27	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
30	23	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
31	23	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
32	31	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
33	30, 32	jca 554	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
35	27	nnge1d 11063	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
36	35	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
37		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
38		lemul2a 10878	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
39	37, 38	mp3anl1 1418	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
40	29, 34, 36, 39	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
41	26, 40	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
42		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
43	18, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
44	43	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
45	30	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
46		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
47	30, 28, 46	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
48		letr 10131	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
50	41, 49	mpan2d 710	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
51	11, 22, 50	3syld 60	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
52		nn0re 11301	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
53	52	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
54		letr 10131	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
55	6, 2, 53, 54	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
56	4, 55	mpand 711	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
57		simpr 477	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
58		facwordi 13076	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
59	58	3exp 1264	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
60	18, 57, 59	sylc 65	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
61	27	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
62	61	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
63	62	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
64	27	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
65	64	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
66	28, 65	jca 554	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
68	23	nnge1d 11063	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
69	68	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
70		lemul1a 10877	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
71	37, 70	mp3anl1 1418	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
72	45, 67, 69, 71	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
73	63, 72	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
74		letr 10131	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
75	44, 29, 47, 74	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
76	73, 75	mpan2d 710	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
77	56, 60, 76	3syld 60	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
78		avgle 11274	. . 3 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
79	7, 52, 78	syl2an 494	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
80	51, 77, 79	mpjaod 396	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   |_cfl 12591   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593  df-seq 12802  df-fac 13061

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