Theorem flge0nn0 12621

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12596	. . 3 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3		0z 11388	. . . 4 |- 0 e. ZZ
4		flge 12606	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( 0 <_ A <-> 0 <_ ( |_ ` A ) ) )
5	3, 4	mpan2 707	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> 0 <_ ( |_ ` A ) ) )
6	5	biimpa 501	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( |_ ` A ) )
7		elnn0z 11390	. 2 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 <-> ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ 0 <_ ( |_ ` A ) ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fldivnn0  12623  expnbnd  12993  facavg  13088  o1fsum  14545  efcllem  14808  odzdvds  15500  prmreclem3  15622  1arith  15631  odmodnn0  17959  lebnumii  22765  lmnn  23061  vitalilem4  23380  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem5  23486  harmoniclbnd  24735  harmonicbnd4  24737  fsumharmonic  24738  ppiltx  24903  logfac2  24942  chpval2  24943  chpchtsum  24944  chpub  24945  logfaclbnd  24947  logfacbnd3  24948  logfacrlim  24949  bposlem1  25009  gausslemma2dlem0d  25084  lgsquadlem2  25106  chtppilimlem1  25162  vmadivsum  25171  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem1  25178  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem3  25208  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  selberglem2  25235  selberg2lem  25239  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6a  25271  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemg  25287  pntlemj  25292  pntlemf  25294  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  itg2addnclem2  33462  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  recnnltrp  39593  rpgtrecnn  39597  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  fourierdlem47  40370  vonioolem1  40894  fllog2  42362  blennnelnn  42370  dignnld  42397  dignn0flhalf  42412