filufint - Metamath Proof Explorer

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Theorem filufint 21724

Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
filufint

Distinct variable groups:

Proof of Theorem filufint Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . 5
2	1	elintrab 4488	. . . 4
3		filsspw 21655	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
5		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
6		filtop 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
10		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $\$
12	5, 11	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
13	12	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
14	4, 13	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
15		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
16		filn0 21666	. . . . . . . . . . . . . 14
17		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
19	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
20		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
21		filelss 21656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
22	21	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
23		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$ $\$
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
25		dfss4 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$ $\$
26	25	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$ $\$
27	26	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
28	27	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $\$
29	24, 28	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
30		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32	31	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
33	29, 32	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
34	33	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
35	34	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
36	35	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
37	36	3imp1 1280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
38		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
39	38	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
40	37, 39	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
41	40	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
42	20, 41	sylan2i 687	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
43	42	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
44		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
47	26	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
48		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$ $\$ $\$
49		dif0 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
50	48, 49	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$ $\$
51	50	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
52	47, 51	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
53	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
54	52, 53	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
55	54	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$
56	55	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
59	58	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
60	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
61		snfbas 21670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
62	46, 59, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
63		fbunfip 21673	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $\$ $\$
64	45, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $\$
65	43, 64	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
66		fsubbas 21671	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
67	6, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
69	14, 19, 65, 68	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
70		fgcl 21682	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
72		filssufil 21716	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
73		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
74		unexg 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $\$
75	73, 74	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
76		ssfii 8325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$ $\$
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
78	77	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $\$
79	78	unssad 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
80		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$ $\$
81	69, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $\$
82	79, 81	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
85	83, 84	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
86		ufilfil 21708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87		0nelfil 21653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
90		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
91	86	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
92		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
93	77	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
94	93	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $\$
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
96	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
97	96, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
98	95, 97	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
100		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
101	99, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
102		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$ $\$
103	8, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
104	103	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $\$
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
106	101, 105	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
107		filin 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $\$
108	91, 92, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
109	90, 108	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
110	109	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
111	89, 110	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
112	85, 111	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
113	112	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
114	113	reximdvai 3015	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
115	72, 114	syl5 34	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
116	71, 115	mpd 15	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3expia 1267	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
118		filssufil 21716	. . . . . . . . . 10
119		filelss 21656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	86, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	121	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . 14
123	122	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
124	123	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
125	124	ancld 576	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
126	125	reximdva 3017	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	118, 126	syl5com 31	. . . . . . . . 9 $/\$
128	127	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
129	117, 128	pm2.61d 170	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
130	129	ex 450	. . . . . 6 $/\$
131		rexanali 2998	. . . . . 6 $/\$
132	130, 131	syl6ib 241	. . . . 5
133	132	con4d 114	. . . 4
134	2, 133	syl5bi 232	. . 3
135	134	ssrdv 3609	. 2
136		ssintub 4495	. . 3
137	136	a1i 11	. 2
138	135, 137	eqssd 3620	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cint 4475

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfi 8316

cfbas 19734

cfg 19735

cfil 21649

cufil 21703

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-rpss 6937 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-fin 7959 df-fi 8317 df-card 8765 df-ac 8939 df-cda 8990 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-fil 21650 df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)

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