Theorem fmtno5nprm 41495

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	|- (FermatNo ` 5 ) e/ Prime

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11313	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN0
2		7nn0 11314	. . . . . . . . 9 |- 7 e. NN0
3	1, 2	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ; 6 7 e. NN0
4		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
5	3, 4	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;; 6 7 0 e. NN0
6	5, 4	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 6 7 0 0 e. NN0
7		4nn0 11311	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
8	6, 7	deccl 11512	. . . . 5 |- ;;;; 6 7 0 0 4 e. NN0
9		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
10	8, 9	deccl 11512	. . . 4 |- ;;;;; 6 7 0 0 4 1 e. NN0
11		7nn 11190	. . . 4 |- 7 e. NN
12	10, 11	decnncl 11518	. . 3 |- ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 e. NN
13	1, 7	deccl 11512	. . . 4 |- ; 6 4 e. NN0
14		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
15	13, 14	decnncl 11518	. . 3 |- ;; 6 4 1 e. NN
16	8, 14	decnncl 11518	. . . 4 |- ;;;;; 6 7 0 0 4 1 e. NN
17		1lt10 11681	. . . 4 |- 1 < ; 1 0
18	16, 2, 9, 17	declti 11546	. . 3 |- 1 < ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7
19		4nn 11187	. . . . 5 |- 4 e. NN
20	1, 19	decnncl 11518	. . . 4 |- ; 6 4 e. NN
21	20, 9, 9, 17	declti 11546	. . 3 |- 1 < ;; 6 4 1
22		fmtno5fac 41494	. . . 4 |- (FermatNo ` 5 ) = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ;; 6 4 1 )
23	22	eqcomi 2631	. . 3 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ;; 6 4 1 ) = (FermatNo ` 5 )
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 15402	. 2 |- -. (FermatNo ` 5 ) e. Prime
25	24	nelir 2900	1 |- (FermatNo ` 5 ) e/ Prime

Syntax hints:   e/ wnel 2897   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075  ;cdc 11493   Primecprime 15385  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by: (None)