Theorem fourierdlem11 40335

Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem11.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem11.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem11.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem11	|- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   B, m, p   i, M, m, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( i, m, p)   Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem11.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem11.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem11.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 40326	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
8	7	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
9	8	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
10	6	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
11		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
13		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
14	13	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ 0 )
15	2	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
16	2	nngt0d 11064	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
17	13, 15, 16	ltled 10185	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ M )
18		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
19	2	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
20		elfz 12332	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ 0 /\ 0 <_ M ) ) )
21	18, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ 0 /\ 0 <_ M ) ) )
22	14, 17, 21	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
23	12, 22	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
24	9, 23	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
25	8	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
26	15	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ M )
27		elfz 12332	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ M /\ M <_ M ) ) )
28	19, 18, 19, 27	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ M /\ M <_ M ) ) )
29	17, 26, 28	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
30	12, 29	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
31	25, 30	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
32		0le1 10551	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
34	2	nnge1d 11063	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ M )
35		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
36		elfz 12332	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
37	35, 18, 19, 36	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
38	33, 34, 37	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ( 0 ... M ) )
39	12, 38	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` 1 ) e. RR )
40		elfzo 12472	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ 0 /\ 0 < M ) ) )
41	18, 18, 19, 40	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ 0 /\ 0 < M ) ) )
42	14, 16, 41	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
43		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
44		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> 0 e. ( 0..^ M ) ) )
45	44	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( 0 + 1 ) ) )
49	46, 48	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` ( 0 + 1 ) ) ) )
50	45, 49	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( i = 0 -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` ( 0 + 1 ) ) ) ) )
51	7	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
52	51	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
53	50, 52	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( ( ph /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` ( 0 + 1 ) ) ) )
54	43, 53	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` ( 0 + 1 ) ) )
55	42, 54	mpdan 702	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` ( 0 + 1 ) ) )
56		0p1e1 11132	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) = 1 )
58	57	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( 0 + 1 ) ) = ( Q ` 1 ) )
59	55, 9, 58	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> A < ( Q ` 1 ) )
60		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
61	2, 60	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
62	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
63		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
64		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ZZ )
65	64	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. RR )
66		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
67		0lt1 10550	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 < 1 )
69		elfzle1 12344	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ i )
70	63, 66, 65, 68, 69	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 < i )
71	63, 65, 70	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 <_ i )
72		elfzle2 12345	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
73		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 e. ZZ )
74		elfzel2 12340	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ZZ )
75		elfz 12332	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
76	64, 73, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
77	71, 72, 76	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
78	77	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
79	62, 78	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
80	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
81		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 0 e. RR )
82		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> i e. ZZ )
83	82	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> i e. RR )
84		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 1 e. RR )
85	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 0 < 1 )
86		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 1 <_ i )
87	81, 84, 83, 85, 86	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 0 < i )
88	81, 83, 87	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 0 <_ i )
89	88	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
90	83	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. RR )
91	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. RR )
92		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
94		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> i <_ ( M - 1 ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i <_ ( M - 1 ) )
96	91	ltm1d 10956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) < M )
97	90, 93, 91, 95, 96	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i < M )
98	90, 91, 97	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i <_ M )
99	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
100		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
101	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
102	99, 100, 101, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
103	89, 98, 102	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
104	80, 103	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
105		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
106		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. RR -> ( i + 1 ) e. RR )
107	90, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
108		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
109	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 < 1 )
110	83, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
111	83	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> i < ( i + 1 ) )
112	84, 83, 110, 86, 111	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> 1 < ( i + 1 ) )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 < ( i + 1 ) )
114	105, 108, 107, 109, 113	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 < ( i + 1 ) )
115	105, 107, 114	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( i + 1 ) )
116	90, 93, 108, 95	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ ( ( M - 1 ) + 1 ) )
117	2	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
118		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
119	117, 118	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
120	119	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
121	116, 120	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ M )
122	99	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
123		elfz 12332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ M ) ) )
124	122, 100, 101, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ M ) ) )
125	115, 121, 124	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
126	80, 125	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
127		elfzo 12472	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ i < M ) ) )
128	99, 100, 101, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ i < M ) ) )
129	89, 97, 128	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
130	129, 52	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
131	104, 126, 130	ltled 10185	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
132	61, 79, 131	monoord 12831	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 1 ) <_ ( Q ` M ) )
133	132, 25	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` 1 ) <_ B )
134	24, 39, 31, 59, 133	ltletrd 10197	. 2 |- ( ph -> A < B )
135	24, 31, 134	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fourierdlem37  40361  fourierdlem54  40377  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem69  40392  fourierdlem79  40402  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem107  40430  fourierdlem109  40432