Theorem fourierdlem32 40356

Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem32.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem32.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem32.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem32.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem32.l	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem32.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem32.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem32.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem32.ss	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y	|- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
fourierdlem32.j	|- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem32	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem32.l	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R e. ( F lim CC A ) )
3		fourierdlem32.y	. . . . 5 |- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
4		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = R )
5	3, 4	syl5req 2669	. . . 4 |- ( C = A -> R = Y )
6	5	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R = Y )
7		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( C = A -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
8	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
9		fourierdlem32.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
10		cncff 22696	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
12	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
13		fourierdlem32.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
14	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
15		ioosscn 39716	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) )
19		fourierdlem32.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
20	19	leidd 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C <_ C )
21		fourierdlem32.cltd	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
22		fourierdlem32.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR* )
24		elico2 12237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR* ) -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
25	19, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
26	19, 20, 21, 25	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( C [,) D ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( C [,) D ) )
28		fourierdlem32.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )
29	17	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
30		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( A [,) B ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) B ) e. _V )
32		resttop 20964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
33	29, 31, 32	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
34	28, 33	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J e. Top )
35		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo e. RR* )
37	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR* )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
39		fourierdlem32.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A e. RR )
41		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
42	40, 37, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
43	38, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) )
44	43	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. RR )
45	44	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo < x )
46	43	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < D )
47	36, 37, 44, 45, 46	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
48	43	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A <_ x )
49	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR )
50		fourierdlem32.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR )
52	39, 50, 19, 22, 21, 13	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
53	52	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D <_ B )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D <_ B )
55	44, 49, 51, 46, 54	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < B )
56	50	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR* )
58		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
59	40, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
60	44, 48, 55, 59	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
61	47, 60	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
62		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
63		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -oo (,) D ) -> x e. RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. RR )
66		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
68	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A e. RR )
69	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> B e. RR* )
70	68, 69, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
71	67, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
72	71	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A <_ x )
73	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
74	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> D e. RR* )
75		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -oo e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
76	35, 74, 75	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
77	73, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) )
78	77	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x < D )
79	68, 74, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
80	65, 72, 78, 79	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
81	61, 80	impbida 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( A [,) D ) <-> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) )
82	81	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,) D ) = ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
83		retop 22565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
85	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) e. _V )
86		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V /\ ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
90	82, 89	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
92		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C = A )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) = ( A [,) D ) )
94	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
95	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
96		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
97	39, 56, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ RR )
98		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
100		restabs 20969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
101	95, 97, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
102	17	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
103	102	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
104	103	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
106	94, 101, 105	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
108	91, 93, 107	3eltr4d 2716	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) e. J )
109		isopn3i 20886	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( C [,) D ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
110	34, 108, 109	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
111	27, 110	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
112		id 22	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> C = A )
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( C = A -> A = C )
114	113	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A = C )
115		uncom 3757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( { A } u. ( A (,) B ) )
116	39	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
117		fourierdlem32.altb	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
118		snunioo 12298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
119	116, 56, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
120	115, 119	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
123	122, 28	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = J )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) = ( int ` J ) )
125		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { A } u. ( C (,) D ) )
126		sneq 4187	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = A -> { C } = { A } )
127	126	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> { A } = { C } )
128	127	uneq1d 3766	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( { A } u. ( C (,) D ) ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
129	125, 128	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
130	19	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR* )
131		snunioo 12298	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
132	130, 23, 21, 131	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
133	129, 132	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( C [,) D ) )
134	124, 133	fveq12d 6197	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) = ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
135	111, 114, 134	3eltr4d 2716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) )
136	12, 14, 16, 17, 18, 135	limcres 23650	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
137	8, 136	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( F lim CC A ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
138	2, 6, 137	3eltr3d 2715	. 2 |- ( ( ph /\ C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
139		limcresi 23649	. . 3 |- ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C )
140		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
141	3, 140	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. C = A -> Y = ( F ` C ) )
142	141	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y = ( F ` C ) )
143		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
145		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
146		unicntop 22589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
147	146	restid 16094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
148	29, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
149	148	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
150	17, 145, 149	cncfcn 22712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
151	15, 144, 150	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
152	9, 151	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
153	17	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
154		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
155	153, 15, 154	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) )
156		cncnp 21084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
157	155, 153, 156	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
158	152, 157	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
159	158	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
161	116	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR* )
162	56	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> B e. RR* )
163	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. RR )
164	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR )
165	52	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ C )
166	165	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A <_ C )
167	112	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = C -> C = A )
168	167	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. C = A -> A =/= C )
169	168	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A =/= C )
170	169	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C =/= A )
171	164, 163, 166, 170	leneltd 10191	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A < C )
172	19, 22, 50, 21, 53	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < B )
173	172	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C < B )
174	161, 162, 163, 171, 173	eliood 39720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. ( A (,) B ) )
175		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
176	175	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) ) )
177	176	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) /\ C e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
178	160, 174, 177	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
179	17, 145	cnplimc 23651	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ C e. ( A (,) B ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
180	15, 174, 179	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
181	178, 180	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) )
182	181	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) )
183	142, 182	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( F lim CC C ) )
184	139, 183	sseldi 3601	. 2 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
185	138, 184	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  40371  fourierdlem76  40399  fourierdlem89  40412