Theorem fourierdlem72 40395

Description: The derivative of O is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem72.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem72.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem72.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem72.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem72.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem72.dvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem72.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem72.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem72.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem72.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem72.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem72.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem72.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem72.u	|- ( ph -> U e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem72.abss	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
fourierdlem72.h	|- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
fourierdlem72.k	|- K = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem72.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem72	|- ( ph -> ( RR _D O ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   i, F   F, s   H, s   K, s   i, M, m, p   U, i   i, V, p   i, X, m, p   X, s   ph, i   ph, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i, m, p)   B( i, m, p)   C( i, m, p)   P( i, m, s, p)   Q( i, m, s, p)   U( m, s, p)   F( m, p)   H( i, m, p)   K( i, m, p)   M( s)   O( i, m, s, p)   V( m, s)

Proof of Theorem fourierdlem72

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) e. _V
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. _V )
3		fourierdlem72.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
5		fourierdlem72.xre	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
7		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
9	6, 8	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
10	4, 9	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
11		fourierdlem72.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
13	10, 12	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
14		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
15	14	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( A [,] B ) )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> s e. ( A [,] B ) )
17		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s =/= 0 -> s =/= 0 )
18	17	necon1bi 2822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. s =/= 0 -> s = 0 )
19	18	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. s =/= 0 -> ( s e. ( A [,] B ) <-> 0 e. ( A [,] B ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> ( s e. ( A [,] B ) <-> 0 e. ( A [,] B ) ) )
21	16, 20	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
22		fourierdlem72.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
24	21, 23	condan 835	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
25	13, 8, 24	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. RR )
26		fourierdlem72.h	. . . . . . 7 |- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> H : ( A (,) B ) --> RR )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
29		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
31	8	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
32	31	resincld 14873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
33	30, 32	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
34		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
35	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
36	35	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
37	36	sincld 14860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
38		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
40		fourierdlem72.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
41	40	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
42		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
43	41, 24, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
44	34, 37, 39, 43	mulne0d 10679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
45	8, 33, 44	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
46		fourierdlem72.k	. . . . . . 7 |- K = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
47	45, 46	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( A (,) B ) --> RR )
48	47	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
49	27	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) )
50	47	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) )
51	2, 28, 48, 49, 50	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( H oF x. K ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
52		fourierdlem72.o	. . . 4 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
53	51, 52	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( ph -> O = ( H oF x. K ) )
54	53	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( H oF x. K ) ) )
55		reelprrecn 10028	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
56	55	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
57	10	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
58	11	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
60	57, 59	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
61		ioossre 12235	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ RR
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
63	62	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
64	63	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
65	60, 64, 24	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. CC )
66	65, 26	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> H : ( A (,) B ) --> CC )
67	64	halfcld 11277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
68	67	sincld 14860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
69	34, 68	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
70	64, 69, 44	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. CC )
71	70, 46	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> K : ( A (,) B ) --> CC )
72		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
73	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR C_ CC )
74		ssid 3624	. . . . . 6 |- CC C_ CC
75	74	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
76		cncfss 22702	. . . . 5 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
77	73, 75, 76	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
78		fourierdlem72.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
79		fourierdlem72.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
80	24	nelrdva 3417	. . . . 5 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
81	3, 73	fssd 6057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> CC )
82		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ RR )
84		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ RR
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ RR )
86		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
87	86	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
88	86, 87	dvres 23675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
89	73, 81, 83, 85, 88	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
90		ioontr 39736	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) = ( ( X + A ) (,) ( X + B ) )
91	90	reseq2i 5393	. . . . . . 7 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
92	89, 91	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
93		fourierdlem72.v	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
94		fourierdlem72.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. NN )
95		fourierdlem72.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
96	95	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
97	94, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
98	93, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
99	98	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
100		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
102		fourierdlem72.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. ( 0..^ M ) )
103		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. ( 0..^ M ) -> U e. ( 0 ... M ) )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. ( 0 ... M ) )
105	101, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` U ) e. RR )
106	105	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V ` U ) e. RR* )
107		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. ( 0..^ M ) -> ( U + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
108	102, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
109	101, 108	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` ( U + 1 ) ) e. RR )
110	109	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V ` ( U + 1 ) ) e. RR* )
111		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi e. RR )
113	112	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u pi e. RR )
114		fourierdlem72.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
115	113, 112, 5, 95, 94, 93, 104, 114	fourierdlem13 40337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` U ) = ( ( V ` U ) - X ) /\ ( V ` U ) = ( X + ( Q ` U ) ) ) )
116	115	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` U ) = ( X + ( Q ` U ) ) )
117	115	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` U ) = ( ( V ` U ) - X ) )
118	105, 5	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( V ` U ) - X ) e. RR )
119	117, 118	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` U ) e. RR )
120	113, 112, 5, 95, 94, 93, 108, 114	fourierdlem13 40337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Q ` ( U + 1 ) ) = ( ( V ` ( U + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( U + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )
121	120	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q ` ( U + 1 ) ) = ( ( V ` ( U + 1 ) ) - X ) )
122	109, 5	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( V ` ( U + 1 ) ) - X ) e. RR )
123	121, 122	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` ( U + 1 ) ) e. RR )
124		fourierdlem72.altb	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A < B )
125		fourierdlem72.abss	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
126	119, 123, 78, 79, 124, 125	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` U ) <_ A /\ B <_ ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
127	126	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` U ) <_ A )
128	119, 78, 5, 127	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + ( Q ` U ) ) <_ ( X + A ) )
129	116, 128	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V ` U ) <_ ( X + A ) )
130	126	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B <_ ( Q ` ( U + 1 ) ) )
131	79, 123, 5, 130	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + B ) <_ ( X + ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
132	120	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` ( U + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
133	131, 132	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X + B ) <_ ( V ` ( U + 1 ) ) )
134		ioossioo 12265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( V ` U ) e. RR* /\ ( V ` ( U + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( V ` U ) <_ ( X + A ) /\ ( X + B ) <_ ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) )
135	106, 110, 129, 133, 134	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) )
136	135	resabs1d 5428	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
137	136	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
138	102	ancli 574	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ph /\ U e. ( 0..^ M ) ) )
139		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> U e. ( 0..^ M ) ) )
140	139	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ U e. ( 0..^ M ) ) ) )
141		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = U -> ( V ` i ) = ( V ` U ) )
142		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = U -> ( i + 1 ) = ( U + 1 ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = U -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( U + 1 ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = U -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) )
145	144	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) )
146	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) = ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
147	145, 146	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) <-> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
148	140, 147	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) <-> ( ( ph /\ U e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) ) )
149		fourierdlem72.dvcn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
150	148, 149	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 |- ( U e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ U e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
151	102, 138, 150	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
152		rescncf 22700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) ) )
153	135, 151, 152	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` U ) (,) ( V ` ( U + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
154	137, 153	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
155	92, 154	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
156	3, 5, 78, 79, 80, 155, 11, 26	fourierdlem59 40382	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
157	77, 156	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
158		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
159	158	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
160	46, 40, 80, 159	fourierdlem58 40381	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D K ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
161	77, 160	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D K ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
162	56, 66, 71, 157, 161	dvmulcncf 40140	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( H oF x. K ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	54, 162	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( RR _D O ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sincsin 14794   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427