Theorem lediv1dd 11930

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltmul1d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltmul1d.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
lediv1dd.4	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	|- ( ph -> ( A / C ) <_ ( B / C ) )

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		ltmul1d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltmul1d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltmul1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
5	2, 3, 4	lediv1d 11918	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A / C ) <_ ( B / C ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( A / C ) <_ ( B / C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  aalioulem5  24091  aalioulem6  24092  cxp2lim  24703  cxploglim2  24705  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem5  24759  chpchtlim  25168  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem3  25188  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  mulogsumlem  25220  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  selberglem2  25235  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  dya2icoseg  30339  sxbrsigalem2  30348  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem17  32519  hashnzfzclim  38521  oddfl  39489  lefldiveq  39505  sumnnodd  39862  wallispilem5  40286  dirkertrigeqlem3  40317  fourierdlem6  40330  fourierdlem7  40331  fourierdlem10  40334  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  fourierdlem47  40370  fourierdlem65  40388  fourierdlem79  40402  etransclem23  40474  flnn0div2ge  42327  dignn0flhalflem2  42410