Theorem etransclem41 40492

Description: P does not divide the P-1 -th derivative of F applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem41.p	|- ( ph -> P e. Prime )
etransclem41.mp	|- ( ph -> ( ! ` M ) < P )
etransclem41.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	|- ( ph -> -. P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, M, x   P, j, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   F( x, j)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables k c d n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) < P )
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
3	2	faccld 13071	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
4	3	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. RR )
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
6		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
8	7	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
9	4, 8	ltnled 10184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) < P <-> -. P <_ ( ! ` M ) ) )
10	1, 9	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> -. P <_ ( ! ` M ) )
11	7	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
12	11, 3	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. NN ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P || ( ! ` M ) ) -> ( P e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. NN ) )
14		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P || ( ! ` M ) ) -> P || ( ! ` M ) )
15		dvdsle 15032	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. NN ) -> ( P || ( ! ` M ) -> P <_ ( ! ` M ) ) )
16	13, 14, 15	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P || ( ! ` M ) ) -> P <_ ( ! ` M ) )
17	10, 16	mtand 691	. . . . 5 |- ( ph -> -. P || ( ! ` M ) )
18		fprodfac 14703	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) j )
19	2, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) j )
20		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( 1 ... M ) e. Fin )
21		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. ZZ )
22	21	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> -u j e. ZZ )
23	22	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> -u j e. CC )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> -u j e. CC )
25	20, 24	fprodabs2 39827	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) ( abs ` -u j ) )
26	25	trud 1493	. . . . . . . 8 |- ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) ( abs ` -u j )
27	21	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. CC )
28	27	absnegd 14188	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( abs ` -u j ) = ( abs ` j ) )
29	21	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. RR )
30		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
31		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
32		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 < 1 )
34		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ j )
35	30, 31, 29, 33, 34	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 < j )
36	30, 29, 35	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 <_ j )
37	29, 36	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( abs ` j ) = j )
38	28, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( abs ` -u j ) = j )
39	38	prodeq2i 14649	. . . . . . . 8 |- prod_ j e. ( 1 ... M ) ( abs ` -u j ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) j
40	26, 39	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) j
41	19, 40	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) = ( ! ` M ) )
42	41	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ph -> ( P || ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) <-> P || ( ! ` M ) ) )
43	17, 42	mtbird 315	. . . 4 |- ( ph -> -. P || ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) )
44		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
45	22	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> -u j e. ZZ )
46	44, 45	fprodzcl 14684	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j e. ZZ )
47		dvdsabsb 15001	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j e. ZZ ) -> ( P || prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j <-> P || ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) ) )
48	11, 46, 47	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( P || prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j <-> P || ( abs ` prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) ) )
49	43, 48	mtbird 315	. . 3 |- ( ph -> -. P || prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j )
50		prmdvdsexp 15427	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P || ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) <-> P || prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) )
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( P || ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) <-> P || prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ) )
52	49, 51	mtbird 315	. 2 |- ( ph -> -. P || ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) )
53		etransclem41.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
54		etransclem11 40462	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
55		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k = 0 <-> j = 0 ) )
56	55	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( k = j -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , 0 ) = if ( j = 0 , ( P - 1 ) , 0 ) )
57	56	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , 0 ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , 0 ) )
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 40486	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
60	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> -u j e. CC )
61	44, 60	fprodcl 14682	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j e. CC )
62	7	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
63	61, 62	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) e. CC )
64		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
65	7, 64	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
66	65	faccld 13071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
67	66	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
68	66	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
69	63, 67, 68	divcan3d 10806	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) )
70	59, 69	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) )
71	70	breq2d 4665	. 2 |- ( ph -> ( P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( prod_ j e. ( 1 ... M ) -u j ^ P ) ) )
72	52, 71	mtbird 315	1 |- ( ph -> -. P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( P - 1 ) ) ` 0 ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem44  40495