Theorem fsumlessf 39809

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlessf.k	|- F/ k ph
fsumge0.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.l	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumless.c	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
fsumlessf	|- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fsumlessf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumlessf.k	. . . . . 6 |- F/ k ph
3		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k j e. A
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. A )
5		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
6	5	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. RR
7	4, 6	nfim 1825	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. RR )
8		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
9	8	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ j e. A ) ) )
10		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
11	10	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B e. RR <-> [_ j / k ]_ B e. RR ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. RR ) ) )
13		fsumge0.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
14	7, 12, 13	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. RR )
15		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k 0
16		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k <_
17	15, 16, 5	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ k 0 <_ [_ j / k ]_ B
18	4, 17	nfim 1825	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 <_ [_ j / k ]_ B )
19	10	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( k = j -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ j / k ]_ B ) )
20	9, 19	imbi12d 334	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 <_ [_ j / k ]_ B ) ) )
21		fsumge0.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
22	18, 20, 21	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 <_ [_ j / k ]_ B )
23		fsumless.c	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
24	1, 14, 22, 23	fsumless 14528	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. C [_ j / k ]_ B <_ sum_ j e. A [_ j / k ]_ B )
25		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ j C
26		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k C
27		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ j B
28	10, 25, 26, 27, 5	cbvsum 14425	. . 3 |- sum_ k e. C B = sum_ j e. C [_ j / k ]_ B
29		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ j A
30		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k A
31	10, 29, 30, 27, 5	cbvsum 14425	. . 3 |- sum_ k e. A B = sum_ j e. A [_ j / k ]_ B
32	28, 31	breq12i 4662	. 2 |- ( sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B <-> sum_ j e. C [_ j / k ]_ B <_ sum_ j e. A [_ j / k ]_ B )
33	24, 32	sylibr 224	1 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   [_csb 3533   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  40661  sge0reuz  40664