Theorem fsumsers 14459

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumsers.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumsers.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumsers.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumsers	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsers

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		fsumsers.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzel2 11692	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		fsumsers.4	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
6		fzssuz 12382	. . . 4 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
8		fsumsers.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
9		fsumsers.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
10	1, 4, 7, 8, 9	zsum 14449	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
11		fclim 14284	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
12		ffun 6048	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
14	8, 2, 9, 5	fsumcvg2 14458	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )
15		funbrfv 6234	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
16	13, 14, 15	mpsyl 68	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
17	10, 16	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumser  14461