Theorem sylow3lem5 18046

Description: Lemma for sylow3 18048, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 18042 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem5.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem5.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem5.k	|- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
sylow3lem5.m	|- .(+) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem5	|- ( ph -> .(+) e. ( ( G ↾s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, .(+) , y, z   x, K, y, z   x, X, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem5

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem5.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
2		slwsubg 18025	. . . . . 6 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
4		sylow3.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
5	4	subgss 17595	. . . . 5 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K C_ X )
6	3, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> K C_ X )
7		ssid 3624	. . . 4 |- ( P pSyl G ) C_ ( P pSyl G )
8		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( K C_ X /\ ( P pSyl G ) C_ ( P pSyl G ) ) -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
10		sylow3lem5.m	. . 3 |- .(+) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = .(+) )
12		sylow3.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
13		sylow3.xf	. . . 4 |- ( ph -> X e. Fin )
14		sylow3.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
15		sylow3lem5.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
16		sylow3lem5.d	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( x .+ z ) = ( x .+ c ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( x .+ c ) .- x ) )
19	18	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( x .+ c ) .- x ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x .+ c ) = ( a .+ c ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> x = a )
22	20, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x .+ c ) .- x ) = ( ( a .+ c ) .- a ) )
23	22	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( c e. y |-> ( ( x .+ c ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
24	19, 23	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
25	24	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( x = a -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
26		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( y = b -> ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) = ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
27	26	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( y = b -> ran ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) = ran ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
28	25, 27	cbvmpt2v 6735	. . . 4 |- ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( a e. X , b e. ( P pSyl G ) |-> ran ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) )
29	4, 12, 13, 14, 15, 16, 28	sylow3lem1 18042	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- ( G ↾s K ) = ( G ↾s K )
31	30	gasubg 17735	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) /\ K e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) e. ( ( G ↾s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) )
32	29, 3, 31	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) e. ( ( G ↾s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) )
33	11, 32	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> .(+) e. ( ( G ↾s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Primecprime 15385   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   GrpAct cga 17722   pSyl cslw 17947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950  df-slw 17951

This theorem is referenced by:  sylow3lem6  18047