Theorem h2hlm 27837

Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hl.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2hl.2	|- U e. NrmCVec
h2hl.3	|- ~H = ( BaseSet ` U )
h2hl.4	|- D = ( IndMet ` U )
h2hl.5	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
h2hlm	|- ~~>v = ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) )

Proof of Theorem h2hlm

Dummy variables x f y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hlim 27829	. . 3 |- ~~>v = { <. f , x >. | ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) }
2	1	relopabi 5245	. 2 |- Rel ~~>v
3		relres 5426	. 2 |- Rel ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) )
4	1	eleq2i 2693	. . 3 |- ( <. f , x >. e. ~~>v <-> <. f , x >. e. { <. f , x >. | ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) } )
5		opabid 4982	. . 3 |- ( <. f , x >. e. { <. f , x >. | ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) } <-> ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
6		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) /\ f e. ( ~H ^m NN ) ) <-> ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) ) )
7		h2hl.3	. . . . . . . 8 |- ~H = ( BaseSet ` U )
8	7	hlex 27754	. . . . . . 7 |- ~H e. _V
9		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
10	8, 9	elmap 7886	. . . . . 6 |- ( f e. ( ~H ^m NN ) <-> f : NN --> ~H )
11	10	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) ) <-> ( f : NN --> ~H /\ <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) ) )
12		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( f ( ~~> t ` J ) x <-> <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) )
13		h2hl.5	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
14		h2hl.2	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
15		h2hl.4	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( IndMet ` U )
16	7, 15	imsxmet 27547	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` ~H ) )
17	14, 16	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN --> ~H -> D e. ( *Met ` ~H ) )
18		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
19		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN --> ~H -> 1 e. ZZ )
20		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) = ( f ` k ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN --> ~H -> f : NN --> ~H )
22	13, 17, 18, 19, 20, 21	lmmbrf 23060	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> ( f ( ~~> t ` J ) x <-> ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) D x ) < y ) ) )
23		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
24		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ~H )
25		h2hl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
26	25, 14, 7, 15	h2hmetdval 27835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f ` k ) e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( f ` k ) D x ) = ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) )
27	24, 26	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) /\ x e. ~H ) -> ( ( f ` k ) D x ) = ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( f ` k ) D x ) < y <-> ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
29	28	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( f ` k ) D x ) < y <-> ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
30	23, 29	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( f ` k ) D x ) < y <-> ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
31	30	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( f ` k ) D x ) < y <-> ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
32	31	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) D x ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
33	32	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) D x ) < y <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) D x ) < y <-> A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) )
35	34	pm5.32da 673	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> ( ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) D x ) < y ) <-> ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) )
36	22, 35	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( f : NN --> ~H -> ( f ( ~~> t ` J ) x <-> ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) )
37	12, 36	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( f : NN --> ~H -> ( <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) <-> ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) )
38	37	pm5.32i 669	. . . . 5 |- ( ( f : NN --> ~H /\ <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) ) <-> ( f : NN --> ~H /\ ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) )
39	6, 11, 38	3bitrri 287	. . . 4 |- ( ( f : NN --> ~H /\ ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) <-> ( <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) /\ f e. ( ~H ^m NN ) ) )
40		anass 681	. . . 4 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) <-> ( f : NN --> ~H /\ ( x e. ~H /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) ) )
41		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
42	41	opelres 5401	. . . 4 |- ( <. f , x >. e. ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) ) <-> ( <. f , x >. e. ( ~~> t ` J ) /\ f e. ( ~H ^m NN ) ) )
43	39, 40, 42	3bitr4i 292	. . 3 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ x e. ~H ) /\ A. y e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` k ) -h x ) ) < y ) <-> <. f , x >. e. ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) ) )
44	4, 5, 43	3bitri 286	. 2 |- ( <. f , x >. e. ~~>v <-> <. f , x >. e. ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) ) )
45	2, 3, 44	eqrelriiv 5214	1 |- ~~>v = ( ( ~~> t ` J ) |` ( ~H ^m NN ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   IndMetcims 27446   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   -h cmv 27782   ~~>v chli 27784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hvsub 27828  df-hlim 27829

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  27855  hlimadd  28050  hhlm  28056