Theorem hlimf 28094

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	|- ~~>v : dom ~~>v --> ~H

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- <. <. +h , .h >. , normh >. = <. <. +h , .h >. , normh >.
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3	1, 2	hhxmet 28032	. . . . . 6 |- ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) e. ( *Met ` ~H )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) = ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) )
5	4	methaus 22325	. . . . . 6 |- ( ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) e. ( *Met ` ~H ) -> ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) e. Haus )
6		lmfun 21185	. . . . . 6 |- ( ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) e. Haus -> Fun ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) )
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 |- Fun ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) )
8		funres 5929	. . . . 5 |- ( Fun ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) -> Fun ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) )
10	1, 2, 4	hhlm 28056	. . . . 5 |- ~~>v = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) )
11	10	funeqi 5909	. . . 4 |- ( Fun ~~>v <-> Fun ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) ) )
12	9, 11	mpbir 221	. . 3 |- Fun ~~>v
13		funfn 5918	. . 3 |- ( Fun ~~>v <-> ~~>v Fn dom ~~>v )
14	12, 13	mpbi 220	. 2 |- ~~>v Fn dom ~~>v
15		funfvbrb 6330	. . . . 5 |- ( Fun ~~>v -> ( x e. dom ~~>v <-> x ~~>v ( ~~>v ` x ) ) )
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x e. dom ~~>v <-> x ~~>v ( ~~>v ` x ) )
17		fvex 6201	. . . . 5 |- ( ~~>v ` x ) e. _V
18	17	hlimveci 28047	. . . 4 |- ( x ~~>v ( ~~>v ` x ) -> ( ~~>v ` x ) e. ~H )
19	16, 18	sylbi 207	. . 3 |- ( x e. dom ~~>v -> ( ~~>v ` x ) e. ~H )
20	19	rgen 2922	. 2 |- A. x e. dom ~~>v ( ~~>v ` x ) e. ~H
21		ffnfv 6388	. 2 |- ( ~~>v : dom ~~>v --> ~H <-> ( ~~>v Fn dom ~~>v /\ A. x e. dom ~~>v ( ~~>v ` x ) e. ~H ) )
22	14, 20, 21	mpbir2an 955	1 |- ~~>v : dom ~~>v --> ~H

Syntax hints:   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   NNcn 11020   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   Hauscha 21112   IndMetcims 27446   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   ~~>v chli 27784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-haus 21119  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829

This theorem is referenced by:  hlimuni  28095  hhsscms  28136  occllem  28162  occl  28163  chscllem2  28497  chscllem4  28499