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Theorem iblcnlem 23555
Description: Expand out the forall in isibl2 23533. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r |- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.s |- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.t |- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.u |- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.v |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x   x, V
Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   S( x)   T( x)   U( x)
Proof of Theorem iblcnlem
StepHypRef Expression
1 iblmbf 23534 . . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
21a1i 11 . 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) )
3 simp1 1061 . . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
43a1i 11 . 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) )
5 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) )
6 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) )
7 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) )
8 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) )
9 0cn 10032 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
109elimel 4150 . . . . . . 7 |- if ( B e. CC , B , 0 ) e. CC
1110a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( B e. CC , B , 0 ) e. CC )
125, 6, 7, 8, 11iblcnlem1 23554 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
1312adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
14 eqid 2622 . . . . . 6 |- A = A
15 mbff 23394 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn -> ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
17 itgcnlem.v . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
1816, 17dmmptd 6024 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
1918feq2d 6031 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC <-> ( x e. A |-> B ) : A --> CC ) )
2019biimpa 501 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
2115, 20sylan2 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
2216fmpt 6381 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. A B e. CC <-> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
2321, 22sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. A B e. CC )
24 iftrue 4092 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> if ( B e. CC , B , 0 ) = B )
2524ralimi 2952 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. CC -> A. x e. A if ( B e. CC , B , 0 ) = B )
2623, 25syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. A if ( B e. CC , B , 0 ) = B )
27 mpteq12 4736 . . . . . 6 |- ( ( A = A /\ A. x e. A if ( B e. CC , B , 0 ) = B ) -> ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> B ) )
2814, 26, 27sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> B ) )
2928eleq1d 2686 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) )
3028eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. MblFn <-> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) )
31 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- RR = RR
3224imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> ( x e. A -> if ( B e. CC , B , 0 ) = B ) )
3332imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. A -> B e. CC ) /\ x e. A ) -> if ( B e. CC , B , 0 ) = B )
3433fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> B e. CC ) /\ x e. A ) -> ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) = ( Re ` B ) )
3534ibllem 23531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) )
3635a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> ( x e. RR -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
3736ralimi2 2949 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. CC -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) )
3823, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) )
39 mpteq12 4736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( RR = RR /\ A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
4031, 38, 39sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
4140fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) )
42 itgcnlem.r . . . . . . . 8 |- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
4341, 42syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = R )
4443eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> R e. RR ) )
4534negeqd 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> B e. CC ) /\ x e. A ) -> -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) = -u ( Re ` B ) )
4645ibllem 23531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) )
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> ( x e. RR -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
4847ralimi2 2949 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. CC -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) )
50 mpteq12 4736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( RR = RR /\ A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
5131, 49, 50sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
5251fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) )
53 itgcnlem.s . . . . . . . 8 |- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
5452, 53syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = S )
5554eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> S e. RR ) )
5644, 55anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( R e. RR /\ S e. RR ) ) )
5733fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> B e. CC ) /\ x e. A ) -> ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) = ( Im ` B ) )
5857ibllem 23531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) )
5958a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> ( x e. RR -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
6059ralimi2 2949 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. CC -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) )
6123, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) )
62 mpteq12 4736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( RR = RR /\ A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
6331, 61, 62sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
6463fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) )
65 itgcnlem.t . . . . . . . 8 |- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
6664, 65syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = T )
6766eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> T e. RR ) )
6857negeqd 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> B e. CC ) /\ x e. A ) -> -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) = -u ( Im ` B ) )
6968ibllem 23531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) )
7069a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> B e. CC ) -> ( x e. RR -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
7170ralimi2 2949 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. CC -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) )
7223, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) )
73 mpteq12 4736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( RR = RR /\ A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
7431, 72, 73sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
7574fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) )
76 itgcnlem.u . . . . . . . 8 |- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
7775, 76syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) = U )
7877eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> U e. RR ) )
7967, 78anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( T e. RR /\ U e. RR ) ) )
8030, 56, 793anbi123d 1399 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( B e. CC , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Re ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) , -u ( Im ` if ( B e. CC , B , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
8113, 29, 803bitr3d 298 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
8281ex 450 . 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) )
832, 4, 82pm5.21ndd 369 1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-mbf 23388  df-ibl 23391
This theorem is referenced by:  itgcnlem  23556  iblrelem  23557  ibladd  23587  ibladdnc  33467
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