Theorem ibladdnc 33467

Description: Choice-free analogue of itgadd 23591. A measurability hypothesis is necessitated by the loss of mbfadd 23428; for large classes of functions, such as continuous functions, it should be relatively easy to show. (Contributed by Brendan Leahy, 1-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
ibladdnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
ibladdnc.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
ibladdnc.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
ibladdnc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
ibladdnc	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, V   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ibladdnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibladdnc.m	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn )
2		ibladdnc.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3		iblmbf 23534	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5		ibladdnc.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
6	4, 5	mbfmptcl 23404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
7	6	recld 13934	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
8		ibladdnc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
9		iblmbf 23534	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
11		ibladdnc.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
12	10, 11	mbfmptcl 23404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
13	12	recld 13934	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` C ) e. RR )
14	6, 12	readdd 13954	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B + C ) ) = ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) )
15	6	ismbfcn2 23406	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn ) ) )
16	4, 15	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn ) )
17	16	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
22	18, 19, 20, 21, 5	iblcnlem 23555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
23	2, 22	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
24	23	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
25	24	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) )
30	26, 27, 28, 29, 11	iblcnlem 23555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
31	8, 30	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
32	31	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
33	32	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) , ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR )
34	7, 13, 14, 17, 25, 33	ibladdnclem 33466	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B + C ) ) ) , ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
35	7	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) e. RR )
36	13	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` C ) e. RR )
37	14	negeqd 10275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` ( B + C ) ) = -u ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) )
38	7	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
39	13	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` C ) e. CC )
40	38, 39	negdid 10405	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) = ( -u ( Re ` B ) + -u ( Re ` C ) ) )
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` ( B + C ) ) = ( -u ( Re ` B ) + -u ( Re ` C ) ) )
42	7, 17	mbfneg 23417	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u ( Re ` B ) ) e. MblFn )
43	24	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
44	32	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` C ) ) , -u ( Re ` C ) , 0 ) ) ) e. RR )
45	35, 36, 41, 42, 43, 44	ibladdnclem 33466	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` ( B + C ) ) ) , -u ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
46	34, 45	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B + C ) ) ) , ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` ( B + C ) ) ) , -u ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
47	6	imcld 13935	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
48	12	imcld 13935	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` C ) e. RR )
49	6, 12	imaddd 13955	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` ( B + C ) ) = ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) )
50	16	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn )
51	23	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
52	51	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
53	31	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
54	53	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` C ) ) , ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR )
55	47, 48, 49, 50, 52, 54	ibladdnclem 33466	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` ( B + C ) ) ) , ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
56	47	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) e. RR )
57	48	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` C ) e. RR )
58	49	negeqd 10275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` ( B + C ) ) = -u ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) )
59	47	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
60	48	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` C ) e. CC )
61	59, 60	negdid 10405	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) = ( -u ( Im ` B ) + -u ( Im ` C ) ) )
62	58, 61	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` ( B + C ) ) = ( -u ( Im ` B ) + -u ( Im ` C ) ) )
63	47, 50	mbfneg 23417	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u ( Im ` B ) ) e. MblFn )
64	51	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
65	53	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` C ) ) , -u ( Im ` C ) , 0 ) ) ) e. RR )
66	56, 57, 62, 63, 64, 65	ibladdnclem 33466	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` ( B + C ) ) ) , -u ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
67	55, 66	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` ( B + C ) ) ) , ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` ( B + C ) ) ) , -u ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
68		eqid 2622	. . 3 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B + C ) ) ) , ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B + C ) ) ) , ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) )
69		eqid 2622	. . 3 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` ( B + C ) ) ) , -u ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` ( B + C ) ) ) , -u ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) )
70		eqid 2622	. . 3 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` ( B + C ) ) ) , ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` ( B + C ) ) ) , ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) )
71		eqid 2622	. . 3 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` ( B + C ) ) ) , -u ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` ( B + C ) ) ) , -u ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) )
72		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. _V )
73	68, 69, 70, 71, 72	iblcnlem 23555	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B + C ) ) ) , ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` ( B + C ) ) ) , -u ( Re ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` ( B + C ) ) ) , ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` ( B + C ) ) ) , -u ( Im ` ( B + C ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
74	1, 46, 67, 73	mpbir3and 1245	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  itgaddnclem1  33468  itgaddnclem2  33469  itgaddnc  33470  iblsubnc  33471