Theorem itgcnlem 23556

Description: Expand out the sum in dfitg 23536. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcnlem.r	|- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.s	|- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.t	|- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.u	|- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.v	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgcnlem.i	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgcnlem	|- ( ph -> S. A B _d x = ( ( R - S ) + ( _i x. ( T - U ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x   x, V

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   S( x)   T( x)   U( x)

Proof of Theorem itgcnlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) )
2	1	dfitg 23536	. . 3 |- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
3		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4		df-3 11080	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
5		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 3 ) )
6		i3 12966	. . . . . . 7 |- ( _i ^ 3 ) = -u _i
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( k = 3 -> ( _i ^ k ) = -u _i )
8	6	itgvallem 23551	. . . . . 6 |- ( k = 3 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) )
9	7, 8	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( k = 3 -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( -u _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) )
10		ax-icn 9995	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> _i e. CC )
12		expcl 12878	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
13	11, 12	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
14		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
15		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
16		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
17		itgcnlem.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
18		itgcnlem.v	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
19	15, 16, 17, 18	iblitg 23535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. CC )
21	14, 20	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. CC )
22	13, 21	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) e. CC )
23		df-2 11079	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
24		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = 2 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 2 ) )
25		i2 12965	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( k = 2 -> ( _i ^ k ) = -u 1 )
27	25	itgvallem 23551	. . . . . . 7 |- ( k = 2 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) )
28	26, 27	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( k = 2 -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( -u 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
29		1e0p1 11552	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 1 ) )
31		exp1 12866	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( _i ^ 1 ) = _i )
32	10, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _i ^ 1 ) = _i
33	30, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( _i ^ k ) = _i )
34	32	itgvallem 23551	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) )
35	33, 34	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) ) )
36		0z 11388	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
37		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
38	17, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
39	38, 18	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
40	39	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / 1 ) = B )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / 1 ) ) = ( Re ` B ) )
42	41	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) )
43	42	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) )
45		itgcnlem.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
46	44, 45	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 x. R ) = ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
48		itgcnlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
49		itgcnlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
50		itgcnlem.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
51	45, 48, 49, 50, 18	iblcnlem 23555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
52	17, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) )
53	52	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( R e. RR /\ S e. RR ) )
54	53	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. RR )
55	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. CC )
56	55	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 x. R ) = R )
57	47, 56	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) = R )
58	57, 55	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) e. CC )
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 0 ) )
60		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i e. CC -> ( _i ^ 0 ) = 1 )
61	10, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i ^ 0 ) = 1
62	59, 61	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( _i ^ k ) = 1 )
63	61	itgvallem 23551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) )
64	62, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
65	64	fsum1 14476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
66	36, 58, 65	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
67	66, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = R )
68		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
69	67, 68	jctil 560	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 e. NN0 /\ sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = R ) )
70		imval 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) )
71	39, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) )
72	71	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) )
73	72	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) )
75	49, 74	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) = T )
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) ) = ( _i x. T ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R + ( _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) ) ) = ( R + ( _i x. T ) ) )
78	3, 29, 35, 22, 69, 77	fsump1i 14500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 e. NN0 /\ sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( R + ( _i x. T ) ) ) )
79	39	renegd 13949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = -u ( Re ` B ) )
80		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
81	80	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u -u 1 = 1
82	81	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u B / -u -u 1 ) = ( -u B / 1 )
83	39	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. CC )
84	83	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / 1 ) = -u B )
85	82, 84	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = -u B )
86	80	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. CC
87		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
88		div2neg 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. CC /\ -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
89	86, 87, 88	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
90	39, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
91	85, 90	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B = ( B / -u 1 ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) )
93	79, 92	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) )
94	93	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) )
95	94	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) )
97	48, 96	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 x. S ) = ( -u 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
99	53	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR )
100	99	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. CC )
101	100	mulm1d 10482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 x. S ) = -u S )
102	98, 101	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) = -u S )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R + ( _i x. T ) ) + ( -u 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) ) = ( ( R + ( _i x. T ) ) + -u S ) )
104	52	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T e. RR /\ U e. RR ) )
105	104	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
106	105	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. CC )
107		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ T e. CC ) -> ( _i x. T ) e. CC )
108	10, 106, 107	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( _i x. T ) e. CC )
109	55, 108	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R + ( _i x. T ) ) e. CC )
110	109, 100	negsubd 10398	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R + ( _i x. T ) ) + -u S ) = ( ( R + ( _i x. T ) ) - S ) )
111	55, 108, 100	addsubd 10413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R + ( _i x. T ) ) - S ) = ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) )
112	103, 110, 111	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R + ( _i x. T ) ) + ( -u 1 x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) ) = ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) )
113	3, 23, 28, 22, 78, 112	fsump1i 14500	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 e. NN0 /\ sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) ) )
114		imval 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u B e. CC -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) )
115	83, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) )
116	39	imnegd 13950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
117	10	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u -u _i = _i
118	117	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i = -u -u _i
119	118	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u B / _i ) = ( -u B / -u -u _i )
120	10	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u _i e. CC
121		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- _i =/= 0
122	10, 121	negne0i 10356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u _i =/= 0
123		div2neg 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. CC /\ -u _i e. CC /\ -u _i =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
124	120, 122, 123	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
125	39, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
126	119, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / _i ) = ( B / -u _i ) )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( -u B / _i ) ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) )
128	115, 116, 127	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) )
129	128	ibllem 23531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) )
130	129	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) )
132	50, 131	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) )
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u _i x. U ) = ( -u _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) )
134	104	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
135	134	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CC )
136		mulneg12 10468	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ U e. CC ) -> ( -u _i x. U ) = ( _i x. -u U ) )
137	10, 135, 136	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u _i x. U ) = ( _i x. -u U ) )
138	133, 137	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) = ( _i x. -u U ) )
139	138	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( -u _i x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( _i x. -u U ) ) )
140	3, 4, 9, 22, 113, 139	fsump1i 14500	. . . 4 |- ( ph -> ( 3 e. NN0 /\ sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( _i x. -u U ) ) ) )
141	140	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( _i x. -u U ) ) )
142	2, 141	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> S. A B _d x = ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( _i x. -u U ) ) )
143	55, 100	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( R - S ) e. CC )
144	135	negcld 10379	. . . 4 |- ( ph -> -u U e. CC )
145		mulcl 10020	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ -u U e. CC ) -> ( _i x. -u U ) e. CC )
146	10, 144, 145	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( _i x. -u U ) e. CC )
147	143, 108, 146	addassd 10062	. 2 |- ( ph -> ( ( ( R - S ) + ( _i x. T ) ) + ( _i x. -u U ) ) = ( ( R - S ) + ( ( _i x. T ) + ( _i x. -u U ) ) ) )
148	11, 106, 144	adddid 10064	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. ( T + -u U ) ) = ( ( _i x. T ) + ( _i x. -u U ) ) )
149	106, 135	negsubd 10398	. . . . 5 |- ( ph -> ( T + -u U ) = ( T - U ) )
150	149	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. ( T + -u U ) ) = ( _i x. ( T - U ) ) )
151	148, 150	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( ( _i x. T ) + ( _i x. -u U ) ) = ( _i x. ( T - U ) ) )
152	151	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( R - S ) + ( ( _i x. T ) + ( _i x. -u U ) ) ) = ( ( R - S ) + ( _i x. ( T - U ) ) ) )
153	142, 147, 152	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. A B _d x = ( ( R - S ) + ( _i x. ( T - U ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   sum_csu 14416  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-mbf 23388  df-ibl 23391  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  itgrevallem1  23561  itgcnval  23566