Theorem imcld 13935

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
imcld	|- ( ph -> ( Im ` A ) e. RR )

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		imcl 13851	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( Im ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   Imcim 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14311  resincl  14870  sin01bnd  14915  recld2  22617  mbfeqa  23410  mbfss  23413  mbfmulc2re  23415  mbfadd  23428  mbfmulc2  23430  mbflim  23435  mbfmul  23493  iblcn  23565  itgcnval  23566  itgre  23567  itgim  23568  iblneg  23569  itgneg  23570  ibladd  23587  itgadd  23591  iblabs  23595  itgmulc2  23600  aaliou2b  24096  efif1olem3  24290  eff1olem  24294  logimclad  24319  abslogimle  24320  logrnaddcl  24321  lognegb  24336  logcj  24352  efiarg  24353  cosargd  24354  argregt0  24356  argrege0  24357  argimgt0  24358  argimlt0  24359  logimul  24360  abslogle  24364  tanarg  24365  logcnlem2  24389  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  logcnlem5  24392  logcn  24393  dvloglem  24394  logf1o2  24396  efopnlem1  24402  efopnlem2  24403  cxpsqrtlem  24448  abscxpbnd  24494  ang180lem2  24540  lawcos  24546  isosctrlem1  24548  isosctrlem2  24549  asinneg  24613  asinsinlem  24618  atanlogaddlem  24640  atanlogsublem  24642  atanlogsub  24643  basellem3  24809  sqsscirc2  29955  ibladdnc  33467  itgaddnc  33470  iblabsnc  33474  iblmulc2nc  33475  itgmulc2nc  33478  bddiblnc  33480  ftc1anclem2  33486  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem8  33492  cntotbnd  33595  isosctrlem1ALT  39170  dstregt0  39493  absimnre  39707  absimlere  39710  cnrefiisplem  40055  sigarim  41040