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Theorem tanarg 24365

Description: The basic relation between the "arg" function

and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanarg	$/\$

**Proof of Theorem tanarg**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8
2		re0 13892	. . . . . . . 8
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . 7
4	3	necon3i 2826	. . . . . 6
5		logcl 24315	. . . . . 6 $/\$
6	4, 5	sylan2 491	. . . . 5 $/\$
7	6	imcld 13935	. . . 4 $/\$
8	7	recnd 10068	. . 3 $/\$
9		sqcl 12925	. . . . . . 7
10	9	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
11		abscl 14018	. . . . . . . . 9
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
13	12	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
14	13	sqcld 13006	. . . . . 6 $/\$
15		absrpcl 14028	. . . . . . . . 9 $/\$
16	4, 15	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$
17	16	rpne0d 11877	. . . . . . 7 $/\$
18		sqne0 12930	. . . . . . . 8
19	13, 18	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
20	17, 19	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$
21	10, 14, 14, 20	divdird 10839	. . . . 5 $/\$
22		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9
23		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
24	22, 8, 23	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
25		2z 11409	. . . . . . . 8
26		efexp 14831	. . . . . . . 8 $/\$
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$
28		efiarg 24353	. . . . . . . . 9 $/\$
29	4, 28	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
31		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$
32	31, 13, 17	sqdivd 13021	. . . . . . 7 $/\$
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 $/\$
34	14, 20	dividd 10799	. . . . . 6 $/\$
35	33, 34	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$
36	21, 35	eqtr2d 2657	. . . 4 $/\$
37	10, 14	addcld 10059	. . . . 5 $/\$
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
39		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11
40		recl 13850	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	42	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 $/\$
44		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	39, 43, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$
46	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
47		imcl 13851	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
49	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
50	42, 49	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	38, 46, 50	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	38, 42, 49	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
56	22, 49, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
57	42, 56	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
58		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
59	39, 57, 58	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
60	54, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 $/\$
61	38, 45, 60	adddid 10064	. . . . . . . . 9 $/\$
62		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	42, 22, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	46, 63, 42	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	42	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	43, 22, 67	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69	42, 42, 38	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	66, 68, 69	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	46, 38, 43	mul12d 10245	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	64, 71, 72	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 $/\$
74		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . 13
75	74	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
76		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	39, 49, 76	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	77, 42	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	38, 38, 78	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	75, 79	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81	78	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
82	46, 49, 42	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
83	49, 42	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
85	82, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	80, 81, 87	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	73, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
90		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	39, 63, 90	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92	91, 42	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92, 78	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 $/\$
94	61, 89, 93	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 $/\$
95	49	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	59, 95	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$
97	43, 96, 43, 95	add4d 10264	. . . . . . . . . 10 $/\$
98		replim 13856	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
101		binom2 12979	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
102	42, 56, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
104	22, 49, 103	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
105		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
107	104, 106	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	95	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
109	107, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	43, 59	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
112	111, 95	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
113	102, 110, 112	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	43, 59, 95	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
115	100, 113, 114	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 $/\$
116		absvalsq2 14021	. . . . . . . . . . . 12
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
118	115, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$
119	43	2timesd 11275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
120	59, 95	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
121	53, 51, 120	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122	119, 121	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$
123	97, 118, 122	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
125	91, 77, 42	subdird 10487	. . . . . . . 8 $/\$
126	94, 124, 125	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 $/\$
127	91, 77	subcld 10392	. . . . . . . 8 $/\$
128		mulcom 10022	. . . . . . . . . . 11 $/\$
129	42, 22, 128	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
130		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
132	48, 131	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133		rimul 11011	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
134	41, 132, 133	syl6an 568	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	134	necon3d 2815	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	130, 135	mpd 15	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	129, 136	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 $/\$
138	91, 77	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . 11 $/\$
139		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
141	63, 49, 46, 140	mulcand 10660	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	138, 141	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 $/\$
143	142	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 $/\$
144	137, 143	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
145	127, 42, 144, 130	mulne0d 10679	. . . . . . 7 $/\$
146	126, 145	eqnetrd 2861	. . . . . 6 $/\$
147		oveq2 6658	. . . . . . . 8
148		it0e0 11254	. . . . . . . 8
149	147, 148	syl6eq 2672	. . . . . . 7
150	149	necon3i 2826	. . . . . 6
151	146, 150	syl 17	. . . . 5 $/\$
152	37, 14, 151, 20	divne0d 10817	. . . 4 $/\$
153	36, 152	eqnetrd 2861	. . 3 $/\$
154		tanval3 14864	. . 3 $/\$
155	8, 153, 154	syl2anc 693	. 2 $/\$
156	10, 14, 14, 20	divsubdird 10840	. . . 4 $/\$
157	33, 34	oveq12d 6668	. . . 4 $/\$
158	156, 157	eqtr2d 2657	. . 3 $/\$
159	36	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$
160	38, 37, 14, 20	divassd 10836	. . . 4 $/\$
161	159, 160	eqtr4d 2659	. . 3 $/\$
162	158, 161	oveq12d 6668	. 2 $/\$
163	10, 14	subcld 10392	. . . 4 $/\$
164		mulcl 10020	. . . . 5 $/\$
165	22, 37, 164	sylancr 695	. . . 4 $/\$
166	163, 165, 14, 146, 20	divcan7d 10829	. . 3 $/\$
167	115, 117	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$
168	43, 96, 95	pnpcand 10429	. . . . 5 $/\$
169	59, 95, 95	subsub4d 10423	. . . . . 6 $/\$
170	95	2timesd 11275	. . . . . . 7 $/\$
171	170	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
172	46, 63, 49	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$
173	42, 38, 49	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 $/\$
174	173	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
175	172, 174	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 $/\$
176	49	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
178	46, 49, 49	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$
179	177, 178	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$
180	175, 179	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$
181	91, 77, 49	subdird 10487	. . . . . . 7 $/\$
182	180, 181	eqtr4d 2659	. . . . . 6 $/\$
183	169, 171, 182	3eqtr2d 2662	. . . . 5 $/\$
184	167, 168, 183	3eqtrd 2660	. . . 4 $/\$
185	184, 126	oveq12d 6668	. . 3 $/\$
186	49, 42, 127, 130, 144	divcan5d 10827	. . 3 $/\$
187	166, 185, 186	3eqtrd 2660	. 2 $/\$
188	155, 162, 187	3eqtrd 2660	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

cre 13837

cim 13838

cabs 13974

ce 14792

ctan 14796

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

This theorem is referenced by: logcnlem4 24391 atanlogsublem 24642

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