Theorem zetacvg 24741

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	|- ( ph -> S e. CC )
zetacvg.2	|- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
zetacvg.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   S, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) )
5		ovex 6678	. . . . 5 |- ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
8		zetacvg.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( k ^c -u S ) )
9		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
11		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
14	13	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S e. CC )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u S e. CC )
16	10, 12, 15	cxpefd 24458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
17	8, 16	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
19		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
20	19	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. RR )
21	20	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) e. CC )
22		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
23	14, 21, 22	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC )
24		absef 14927	. . . . 5 |- ( ( -u S x. ( log ` k ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( exp ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) )
26		remul 13869	. . . . . . . 8 |- ( ( -u S e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
27	14, 21, 26	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) )
28	13	renegd 13949	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` -u S ) = -u ( Re ` S ) )
29	20	rered 13964	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( Re ` ( log ` k ) ) = ( log ` k ) )
30	28, 29	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
31	20	reim0d 13965	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( Im ` ( log ` k ) ) = 0 )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) )
33		imcl 13851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. RR )
34	33	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u S e. CC -> ( Im ` -u S ) e. CC )
35	14, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` -u S ) e. CC )
36	35	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` -u S ) x. 0 ) = 0 )
37	32, 36	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) = 0 )
38	30, 37	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` -u S ) x. ( Re ` ( log ` k ) ) ) - ( ( Im ` -u S ) x. ( Im ` ( log ` k ) ) ) ) = ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) )
39	13	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. RR )
40	39	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( Re ` S ) e. CC )
42		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
43	41, 21, 42	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. CC )
44	43	subid1d 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) - 0 ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
45	27, 38, 44	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) = ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
46	45	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
47	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
48	10, 12, 47	cxpefd 24458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
49	46, 48	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( Re ` ( -u S x. ( log ` k ) ) ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
50	18, 25, 49	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
51	7, 50	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
52	10, 15	cxpcld 24454	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u S ) e. CC )
53	8, 52	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
54		2rp 11837	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
55		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
56		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
57	55, 39, 56	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
58		rpcxpcl 24422	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
59	54, 57, 58	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR+ )
60	59	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC )
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( Re ` S ) )
62		recl 13850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( Re ` S ) e. CC )
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Re ` S ) e. CC )
65	64	addid2d 10237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + ( Re ` S ) ) = ( Re ` S ) )
66	61, 65	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) )
67		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
68		ltsubadd 10498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` S ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
69	55, 67, 68	mp3an13 1415	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` S ) e. RR -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
70	39, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> 1 < ( 0 + ( Re ` S ) ) ) )
71	66, 70	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 )
72		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
73		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
74		cxplt 24440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) /\ ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
75	72, 73, 74	mpanl12 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
76	57, 67, 75	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) < 0 <-> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) ) )
77	71, 76	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) < ( 2 ^c 0 ) )
78	59	rprege0d 11879	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
79		absid 14036	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
81		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
82		cxp0 24416	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^c 0 ) = 1 )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^c 0 ) = 1
84	83	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- 1 = ( 2 ^c 0 )
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 = ( 2 ^c 0 ) )
86	77, 80, 85	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) < 1 )
87		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
88		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) )
89		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) e. _V
90	87, 88, 89	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
91	90	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
92	60, 86, 91	geolim 14601	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) )
93		seqex 12803	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. _V
94		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) e. _V
95	93, 94	breldm 5329	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
96	92, 95	syl 17	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
97		rpcxpcl 24422	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u ( Re ` S ) e. RR ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
98	19, 40, 97	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR+ )
99	98	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k ^c -u ( Re ` S ) ) e. RR )
100	7, 99	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) e. RR )
101	98	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( k ^c -u ( Re ` S ) ) )
102	101, 7	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
103		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
104	103	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k <_ ( k + 1 ) )
105	19	reeflogd 24370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) = k )
106		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
107	106	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. RR+ )
108	107	reeflogd 24370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) = ( k + 1 ) )
109	104, 105, 108	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
110	107	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
111		efle 14848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
112	20, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( exp ` ( log ` k ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
114	113	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) )
115	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
116	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
117	116	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
118	117	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR )
119	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` S ) e. RR )
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
122		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( Re ` S ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( Re ` S ) )
126		lemul2 10876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` k ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( Re ` S ) e. RR /\ 0 < ( Re ` S ) ) ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) <_ ( log ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
128	114, 127	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
129		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
130	39, 20, 129	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
131		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
132	39, 110, 131	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
133	130, 132	lenegd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <_ ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <-> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
134	128, 133	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
135	110	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC )
136		mulneg1 10466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
137	64, 135, 136	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) )
138		mulneg1 10466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` S ) e. CC /\ ( log ` k ) e. CC ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
139	64, 21, 138	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) = -u ( ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
140	134, 137, 139	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) )
141		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
142	40, 110, 141	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
143		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( Re ` S ) e. RR /\ ( log ` k ) e. RR ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
144	40, 20, 143	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
145		efle 14848	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) e. RR ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
146	142, 144, 145	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) <-> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) ) )
147	140, 146	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
148		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
149		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
150	148, 4, 149	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
151	116, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
152	116	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
153	116	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
154	152, 153, 47	cxpefd 24458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) ^c -u ( Re ` S ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
155	151, 154	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` ( k + 1 ) ) ) ) )
156	7, 48	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) = ( exp ` ( -u ( Re ` S ) x. ( log ` k ) ) ) )
157	147, 155, 156	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` k ) )
158	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. CC )
160		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
161	160	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
162	161	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
163	159, 162	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) = ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) )
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
166	165, 161, 159	cxpmuld 24480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( m x. ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ) = ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) )
167		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
168		cxpexp 24414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
169	81, 167, 168	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c m ) = ( 2 ^ m ) )
170		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
171	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( Re ` S ) e. CC )
172		negsub 10329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Re ` S ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
173	170, 171, 172	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 + -u ( Re ` S ) ) = ( 1 - ( Re ` S ) ) )
174	173	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) = ( 1 + -u ( Re ` S ) ) )
175	169, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c m ) ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
176	164, 166, 175	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) )
177	57	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 1 - ( Re ` S ) ) e. RR )
178	165, 177, 162	cxpmuld 24480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^c ( ( 1 - ( Re ` S ) ) x. m ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) )
179		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
180		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
181	179, 180	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( 2 ^ m ) e. NN )
182	181	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
183	182	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
184	182	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
185		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
186	41	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> -u ( Re ` S ) e. CC )
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 24463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c ( 1 + -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
189		cxpexp 24414	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
190	60, 189	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^c m ) = ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) )
191	183	cxp1d 24452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) = ( 2 ^ m ) )
192	191	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) ^c 1 ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
194	179, 167, 180	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
195		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 ^ m ) -> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
196		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) e. _V
197	195, 4, 196	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ m ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
198	194, 197	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) = ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) )
199	198	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( 2 ^ m ) ^c -u ( Re ` S ) ) ) )
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ` m ) = ( ( 2 ^ m ) x. ( ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ` ( 2 ^ m ) ) ) )
201	100, 102, 157, 200	climcnds 14583	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^c ( 1 - ( Re ` S ) ) ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> ) )
202	96, 201	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^c -u ( Re ` S ) ) ) ) e. dom ~~> )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 14551	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   ~~> cli 14215   expce 14792   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  24758