Theorem isershft 14394

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
isershft.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
isershft	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Proof of Theorem isershft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 11417	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
2		isershft.1	. . . . . 6 |- F e. _V
3	2	seqshft 13825	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
4	1, 3	sylancom 701	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
5		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		pncan 10287	. . . . . . 7 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
9	8	seqeq1d 12807	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
10	9	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
11	4, 10	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
12	11	breq1d 4663	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
13		seqex 12803	. . . 4 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
14		climshft 14307	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
15	13, 14	mpan2 707	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
16	15	adantl 482	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
17	12, 16	bitr2d 269	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   seqcseq 12801   shift cshi 13806   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-shft 13807  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  isumshft  14571  geolim3  24094  dvradcnv  24175  abelthlem6  24190