Theorem seqex 12803

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	|- seq M ( .+ , F ) e. _V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 12802	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) " om )
2		rdgfun 7512	. . 3 |- Fun rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
3		omex 8540	. . 3 |- om e. _V
4		funimaexg 5975	. . 3 |- ( ( Fun rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) " om ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) " om ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2697	1 |- seq M ( .+ , F ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505   1c1 9937   + caddc 9939   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  seqshft  13825  clim2ser  14385  clim2ser2  14386  isermulc2  14388  isershft  14394  isercoll  14398  isercoll2  14399  iseralt  14415  fsumcvg  14443  sumrb  14444  isumclim3  14490  isumadd  14498  cvgcmp  14548  cvgcmpce  14550  trireciplem  14594  geolim  14601  geolim2  14602  geo2lim  14606  geomulcvg  14607  geoisum1c  14611  cvgrat  14615  mertens  14618  clim2prod  14620  clim2div  14621  ntrivcvg  14629  ntrivcvgfvn0  14631  ntrivcvgmullem  14633  fprodcvg  14660  prodrblem2  14661  fprodntriv  14672  iprodclim3  14731  iprodmul  14734  efcj  14822  eftlub  14839  eflegeo  14851  rpnnen2lem5  14947  mulgfval  17542  ovoliunnul  23275  ioombl1lem4  23329  vitalilem5  23381  dvnfval  23685  aaliou3lem3  24099  dvradcnv  24175  pserulm  24176  abelthlem6  24190  abelthlem7  24192  abelthlem9  24194  logtayllem  24405  logtayl  24406  atantayl  24664  leibpilem2  24668  leibpi  24669  log2tlbnd  24672  zetacvg  24741  lgamgulm2  24762  lgamcvglem  24766  lgamcvg2  24781  dchrisumlem3  25180  dchrisum0re  25202  esumcvgsum  30150  sseqval  30450  iprodgam  31628  faclim  31632  knoppcnlem6  32488  knoppcnlem9  32491  knoppndvlem4  32506  knoppndvlem6  32508  knoppf  32526  geomcau  33555  dvradcnv2  38546  binomcxplemnotnn0  38555  sumnnodd  39862  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  fourierdlem112  40435  sge0isum  40644