Theorem isumshft 14571

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   k, Z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)   Z( j)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
7		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
8	7, 4	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
11	9, 10	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
12	11	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
13	12	shftval 13814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
14	6, 8, 13	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
17	16	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
19		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
20	19, 9	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. CC )
21		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
22	6, 20, 21	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> k e. Z )
24	23, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
25		eluzadd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
26	24, 2, 25	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
27	22, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
28	27, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
29		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
31	29, 30	fvmpti 6281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K + k ) e. W -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
33	18, 32	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
35		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
36	35	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
40	37, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
41	36, 40	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
42	34, 41	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
45	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
46	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
48	47, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
49		eluzsub 11717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51	50, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
55	52, 54	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
56	55	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
57	44, 51, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
58		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
59	6, 8, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
61	14, 57, 60	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
62	5, 61	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
63	3, 62	seqfeq 12826	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
64	63	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
65	12	isershft 14394	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
66	1, 2, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
67	64, 66	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
68	67	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
69		df-fv 5896	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
70		df-fv 5896	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
71	68, 69, 70	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
72		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
73		isumshft.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
74	73, 30	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
75		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
76	74, 75	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
77	4, 3, 72, 76	isum 14450	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
78		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
79	74	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
80	28	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
81	38	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
82	81	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
83	80, 82	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
84		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ ( K + n ) e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
85	79, 83, 84	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
86	42, 85	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
87	9, 1, 78, 86	isum 14450	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
88	71, 77, 87	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
89		sumfc 14440	. 2 |- sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A
90		sumfc 14440	. 2 |- sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B
91	88, 89, 90	3eqtr3g 2679	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   shift cshi 13806   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  eftlub  14839  pserdv2  24184  logtayl  24406  binomcxplemnotnn0  38555