Theorem scmatsgrp1 20328

Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.s	|- S = ( N ScMat R )
scmatsgrp1.d	|- D = ( N DMat R )
scmatsgrp1.c	|- C = ( A ↾s D )

Assertion

Ref	Expression
scmatsgrp1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Proof of Theorem scmatsgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		scmatid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		scmatid.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
4		scmatid.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
5		scmatid.s	. . . . 5 |- S = ( N ScMat R )
6		scmatsgrp1.d	. . . . 5 |- D = ( N DMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 20321	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> x e. D ) )
8	7	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ D )
9	1, 2, 4, 6	dmatsgrp 20305	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
10	9	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
11		scmatsgrp1.c	. . . . . 6 |- C = ( A ↾s D )
12	11	subgbas 17598	. . . . 5 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> D = ( Base ` C ) )
13	12	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> ( Base ` C ) = D )
14	10, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` C ) = D )
15	8, 14	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ ( Base ` C ) )
16	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 20320	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. S )
17		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 1r ` A ) e. S -> S =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S =/= (/) )
19	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
20	7	com12 32	. . . . . . 7 |- ( x e. S -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
22	21	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. D )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 20321	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> y e. D ) )
24	23	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> y e. D ) ) )
25	24	imp32 449	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. D )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( -g ` A ) = ( -g ` A )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
28	26, 11, 27	subgsub 17606	. . . . . 6 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` A ) y ) = ( x ( -g ` C ) y ) )
29	28	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
30	19, 22, 25, 29	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
31	1, 2, 3, 4, 5	scmatsubcl 20323	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` A ) y ) e. S )
32	30, 31	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
33	32	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
34	1, 2, 4, 6	dmatsrng 20307	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubRing ` A ) )
35	34	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubRing ` A ) )
36	11	subrgring 18783	. . . 4 |- ( D e. (SubRing ` A ) -> C e. Ring )
37	35, 36	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
38		ringgrp 18552	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
39		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
40	39, 27	issubg4 17613	. . 3 |- ( C e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
41	37, 38, 40	3syl 18	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
42	15, 18, 33, 41	mpbir3and 1245	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   1rcur 18501   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-dmat 20296  df-scmat 20297

This theorem is referenced by:  scmatsrng1  20329