Theorem dprdsubg 18423

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdsubg	|- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem dprdsubg

Dummy variables f g h i k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	dprdssv 18415	. . 3 |- ( G DProd S ) C_ ( Base ` G )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) C_ ( Base ` G ) )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5		eqid 2622	. . . 4 |- { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) }
6		id 22	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> G dom DProd S )
7		eqidd 2623	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> dom S = dom S )
8		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) e. _V
9		fnconstg 6093	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` G ) e. _V -> ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) Fn dom S )
10	8, 9	mp1i 13	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) Fn dom S )
11	8	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom S -> ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ` k ) = ( 0g ` G ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ` k ) = ( 0g ` G ) )
13		dprdf 18405	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( S ` k ) e. (SubGrp ` G ) )
15	4	subg0cl 17602	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` k ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( S ` k ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( 0g ` G ) e. ( S ` k ) )
17	12, 16	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ` k ) e. ( S ` k ) )
18	17	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> A. k e. dom S ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ` k ) e. ( S ` k ) )
19		df-nel 2898	. . . . . . . 8 |- ( dom S e/ _V <-> -. dom S e. _V )
20		dprddomprc 18399	. . . . . . . 8 |- ( dom S e/ _V -> -. G dom DProd S )
21	19, 20	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( -. dom S e. _V -> -. G dom DProd S )
22	21	con4i 113	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> dom S e. _V )
23	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> ( 0g ` G ) e. _V )
24	22, 23	fczfsuppd 8293	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) finSupp ( 0g ` G ) )
25	5, 6, 7	dprdw 18409	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } <-> ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) Fn dom S /\ A. k e. dom S ( ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ` k ) e. ( S ` k ) /\ ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) finSupp ( 0g ` G ) ) ) )
26	10, 18, 24, 25	mpbir3and 1245	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
27	4, 5, 6, 7, 26	eldprdi 18417	. . 3 |- ( G dom DProd S -> ( G gsumg ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ) e. ( G DProd S ) )
28		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( G gsumg ( dom S X. { ( 0g ` G ) } ) ) e. ( G DProd S ) -> ( G DProd S ) =/= (/) )
29	27, 28	syl 17	. 2 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) =/= (/) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- dom S = dom S
31	4, 5	eldprd 18403	. . . . . . 7 |- ( dom S = dom S -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) ) )
32	31	baibd 948	. . . . . 6 |- ( ( dom S = dom S /\ G dom DProd S ) -> ( x e. ( G DProd S ) <-> E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) )
33	4, 5	eldprd 18403	. . . . . . 7 |- ( dom S = dom S -> ( y e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) ) )
34	33	baibd 948	. . . . . 6 |- ( ( dom S = dom S /\ G dom DProd S ) -> ( y e. ( G DProd S ) <-> E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) )
35	32, 34	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( dom S = dom S /\ G dom DProd S ) -> ( ( x e. ( G DProd S ) /\ y e. ( G DProd S ) ) <-> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) /\ E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) ) )
36	30, 35	mpan 706	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( ( x e. ( G DProd S ) /\ y e. ( G DProd S ) ) <-> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) /\ E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) ) )
37		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ( x = ( G gsumg f ) /\ y = ( G gsumg g ) ) <-> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) /\ E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) )
38		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> G dom DProd S )
39		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> dom S = dom S )
40		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
41		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
43	4, 5, 38, 39, 40, 41, 42	dprdfsub 18420	. . . . . . . . 9 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( ( f oF ( -g ` G ) g ) e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ ( G gsumg ( f oF ( -g ` G ) g ) ) = ( ( G gsumg f ) ( -g ` G ) ( G gsumg g ) ) ) )
44	43	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( G gsumg ( f oF ( -g ` G ) g ) ) = ( ( G gsumg f ) ( -g ` G ) ( G gsumg g ) ) )
45	43	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( f oF ( -g ` G ) g ) e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
46	4, 5, 38, 39, 45	eldprdi 18417	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( G gsumg ( f oF ( -g ` G ) g ) ) e. ( G DProd S ) )
47	44, 46	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( ( G gsumg f ) ( -g ` G ) ( G gsumg g ) ) e. ( G DProd S ) )
48		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( G gsumg f ) /\ y = ( G gsumg g ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) = ( ( G gsumg f ) ( -g ` G ) ( G gsumg g ) ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( G gsumg f ) /\ y = ( G gsumg g ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) <-> ( ( G gsumg f ) ( -g ` G ) ( G gsumg g ) ) e. ( G DProd S ) ) )
50	47, 49	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( G dom DProd S /\ ( f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } /\ g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) ) -> ( ( x = ( G gsumg f ) /\ y = ( G gsumg g ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) )
51	50	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ( x = ( G gsumg f ) /\ y = ( G gsumg g ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) )
52	37, 51	syl5bir 233	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) /\ E. g e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } y = ( G gsumg g ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) )
53	36, 52	sylbid 230	. . 3 |- ( G dom DProd S -> ( ( x e. ( G DProd S ) /\ y e. ( G DProd S ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) )
54	53	ralrimivv 2970	. 2 |- ( G dom DProd S -> A. x e. ( G DProd S ) A. y e. ( G DProd S ) ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) )
55		dprdgrp 18404	. . 3 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
56	1, 42	issubg4 17613	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( G DProd S ) C_ ( Base ` G ) /\ ( G DProd S ) =/= (/) /\ A. x e. ( G DProd S ) A. y e. ( G DProd S ) ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) ) )
57	55, 56	syl 17	. 2 |- ( G dom DProd S -> ( ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( G DProd S ) C_ ( Base ` G ) /\ ( G DProd S ) =/= (/) /\ A. x e. ( G DProd S ) A. y e. ( G DProd S ) ( x ( -g ` G ) y ) e. ( G DProd S ) ) ) )
58	3, 29, 54, 57	mpbir3and 1245	1 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdspan  18426  dprdz  18429  dprdcntz2  18437  dprddisj2  18438  dprd2da  18441  dmdprdsplit2lem  18444  dmdprdsplit2  18445  dprdsplit  18447  dpjf  18456  dpjidcl  18457  dpjlid  18460  dpjghm  18462  ablfac1c  18470  ablfac1eulem  18471  ablfac1eu  18472  pgpfaclem1  18480