Theorem jensenlem1 24713

Description: Lemma for jensen 24715. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
jensenlem.1	|- ( ph -> -. z e. B )
jensenlem.2	|- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
jensenlem.s	|- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
jensenlem.l	|- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
jensenlem1	|- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y   z, a, B, b, t, x, y   t, L, x, y   S, a, b, t, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   D( z)   S( z)   T( z)   F( z)   L( z, a, b)   X( z)

Proof of Theorem jensenlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 19750	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 19751	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		cnring 19768	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
4		ringcmn 18581	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
5	3, 4	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
6		jensen.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
7		jensenlem.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
8	7	unssad 3790	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
9		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
11		rge0ssre 12280	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
12		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
13	11, 12	sstri 3612	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
14	8	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. A )
15		jensen.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	14, 16	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	13, 17	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. CC )
19	7	unssbd 3791	. . . . 5 |- ( ph -> { z } C_ A )
20		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
21	20	snss 4316	. . . . 5 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
22	19, 21	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> z e. A )
23		jensenlem.1	. . . 4 |- ( ph -> -. z e. B )
24	15, 22	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
25	13, 24	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> ( T ` z ) e. CC )
26		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = z -> ( T ` x ) = ( T ` z ) )
27	1, 2, 5, 10, 18, 22, 23, 25, 26	gsumunsn 18359	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( T ` x ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( T ` x ) ) ) + ( T ` z ) ) )
28	15, 7	feqresmpt 6250	. . . 4 |- ( ph -> ( T |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( T ` x ) ) )
29	28	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( T ` x ) ) ) )
30	15, 8	feqresmpt 6250	. . . . 5 |- ( ph -> ( T |` B ) = ( x e. B |-> ( T ` x ) ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( T ` x ) ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( T |` B ) ) + ( T ` z ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( T ` x ) ) ) + ( T ` z ) ) )
33	27, 29, 32	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( T |` B ) ) + ( T ` z ) ) )
34		jensenlem.l	. 2 |- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
35		jensenlem.s	. . 3 |- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
36	35	oveq1i 6660	. 2 |- ( S + ( T ` z ) ) = ( (ℂfld gsumg ( T |` B ) ) + ( T ` z ) )
37	33, 34, 36	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  jensenlem2  24714