Theorem jensen 24715

Description: Jensen's inequality, a finite extension of the definition of convexity (the last hypothesis). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
jensen	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y

Proof of Theorem jensen

Dummy variables c k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jensen.7	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
2		jensen.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T Fn A )
5		fnresdm 6000	. . . . . . . 8 |- ( T Fn A -> ( T |` A ) = T )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T |` A ) = T )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) = (ℂfld gsumg T ) )
8	1, 7	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
9		ssid 3624	. . . . 5 |- A C_ A
10	8, 9	jctil 560	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
11		jensen.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
12		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
13		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = ( T |` (/) ) )
14		res0 5400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T |` (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = (/) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
17		cnfld0 19770	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
18	17	gsum0 17278	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
19	16, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = 0 )
20	19	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < 0 ) )
21	12, 20	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) ) )
22		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` (/) ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) )
24	23, 19	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) )
25		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) )
27	26, 19	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) )
28	27	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) ) )
29	28	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
30	24, 29	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
31	21, 30	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) ) )
33		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a C_ A <-> k C_ A ) )
34		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( T |` a ) = ( T |` k ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
36	35	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
37	33, 36	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
38		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` k ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) )
40	39, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
41		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = k -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) )
43	42, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
44	43	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
45	44	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
46	40, 45	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) )
47	37, 46	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
48	47	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = k -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) ) )
49		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( a C_ A <-> ( k u. { c } ) C_ A ) )
50		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( T |` a ) = ( T |` ( k u. { c } ) ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
52	51	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
53	49, 52	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
54		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
56	55, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
57		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
59	58, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
60	59	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
61	60	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
62	56, 61	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
63	53, 62	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) )
64	63	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
65		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
66		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( T |` a ) = ( T |` A ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
68	67	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
69	65, 68	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
70		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` A ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) )
72	71, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
73		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) )
75	74, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
76	75	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
77	76	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } )
78	72, 77	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) )
79	69, 78	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) )
80	79	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) ) )
81		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
82	81	ltnri 10146	. . . . . . . . 9 |- -. 0 < 0
83	82	pm2.21i 116	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 0 -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
84	83	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
86		impexp 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) <-> ( k C_ A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
87		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
88	87	unssad 3790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k C_ A )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
90		jensen.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D C_ RR )
91	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> D C_ RR )
92		jensen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : D --> RR )
93	92	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> F : D --> RR )
94		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ph )
95		jensen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
96	94, 95	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
97	94, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> A e. Fin )
98	94, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
99		jensen.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X : A --> D )
100	94, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> X : A --> D )
101	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
102		jensen.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
103	94, 102	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
104		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> -. c e. k )
105	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) )
107		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) )
108		cnring 19768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ℂfld e. Ring
109		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
110	108, 109	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ℂfld e. CMnd )
111	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> A e. Fin )
112		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ k C_ A ) -> k e. Fin )
113	111, 88, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k e. Fin )
114		rege0subm 19802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld ) )
116	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
117	116, 88	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) : k --> ( 0 [,) +oo ) )
118		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. _V
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> 0 e. _V )
120	117, 113, 119	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) finSupp 0 )
121	17, 110, 113, 115, 117, 120	gsumsubmcl 18319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR /\ 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
123	122	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
124	121, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
126		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
127	125, 126	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR+ )
128		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
129		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
130	129	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
131	130	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
132	128, 131	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
133	132	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D )
134	132	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
135	91, 93, 96, 97, 98, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 127, 133, 134	jensenlem2 24714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
137	136	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
138	137	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
139	135, 138	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
140	139	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
141	89, 140	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
142		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC = ( Base ` ℂfld )
143		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
144	108, 143	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ℂfld e. Mnd )
145		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
146	111, 87, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
148		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { c } C_ ( k u. { c } )
149		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- c e. { c }
150	148, 149	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- c e. ( k u. { c } )
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. ( k u. { c } ) )
152		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
154		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
155		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
156	2, 154, 155	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> T : A --> RR )
157	99, 90	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> X : A --> RR )
158		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A i^i A ) = A
159	153, 156, 157, 11, 11, 158	off 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
160		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- RR C_ CC
161		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( T oF x. X ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
162	159, 160, 161	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
163	162	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
164	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
165	163, 164	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
166	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
167	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A e. Fin )
168		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ A e. Fin ) -> T e. _V )
169	166, 167, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T e. _V )
170	99	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> D )
171		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X : A --> D /\ A e. Fin ) -> X e. _V )
172	170, 167, 171	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X e. _V )
173		offres 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T e. _V /\ X e. _V ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
174	169, 172, 173	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
175	174	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) = ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) )
176	154, 160	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
177		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> T : A --> CC )
178	166, 176, 177	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> CC )
179	178, 164	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
180		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. ( k u. { c } ) )
181	180	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> x e. ( k u. { c } ) )
182		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
184		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) = ( k \ { c } )
185		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k \ { c } ) C_ k
186	184, 185	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) C_ k
187	186	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. k )
188		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
189	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k C_ A )
190	166, 189	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` k ) = ( x e. k |-> ( T ` x ) ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) )
192	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k e. Fin )
193	189	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> x e. A )
194	166	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
195	193, 194	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
196	176, 195	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. CC )
197	192, 196	gsumfsum 19813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) = sum_ x e. k ( T ` x ) )
198	188, 191, 197	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 )
199		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
200	195, 199	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
201	200	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. RR )
202	200	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> 0 <_ ( T ` x ) )
203	192, 201, 202	fsum00 14530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 <-> A. x e. k ( T ` x ) = 0 ) )
204	198, 203	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A. x e. k ( T ` x ) = 0 )
205	204	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) = 0 )
206	187, 205	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( T ` x ) = 0 )
207	183, 206	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = 0 )
208	179, 207	suppss 7325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
209		mul02 10214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. CC -> ( 0 x. x ) = 0 )
210	209	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
211	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ RR )
212	211, 160	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ CC )
213	170, 212	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> CC )
214	213, 164	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
215	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 e. _V )
216	208, 210, 179, 214, 147, 215	suppssof1 7328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) C_ { c } )
217	175, 216	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
218	142, 17, 144, 147, 151, 165, 217	gsumpt 18361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
219		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
220	151, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
221	166, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T Fn A )
222		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X : A --> D -> X Fn A )
223	170, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X Fn A )
224	164, 151	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. A )
225		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T Fn A /\ X Fn A ) /\ ( A e. Fin /\ c e. A ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
226	221, 223, 167, 224, 225	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
227	218, 220, 226	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
228	142, 17, 144, 147, 151, 179, 208	gsumpt 18361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
229		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
230	151, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
231	228, 230	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( T ` c ) )
232	227, 231	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) / ( T ` c ) ) )
233	213, 224	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X ` c ) e. CC )
234	178, 224	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T ` c ) e. CC )
235		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
236	235, 231	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < ( T ` c ) )
237	236	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T ` c ) =/= 0 )
238	233, 234, 237	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) / ( T ` c ) ) = ( X ` c ) )
239	232, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( X ` c ) )
240	170, 224	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X ` c ) e. D )
241	239, 240	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D )
242	92	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> F : D --> RR )
243	242, 240	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` ( X ` c ) ) e. RR )
244	243	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` ( X ` c ) ) <_ ( F ` ( X ` c ) ) )
245	239	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) = ( F ` ( X ` c ) ) )
246		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F : D --> RR /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
247	92, 99, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( F o. X ) : A --> RR )
248	153, 156, 247, 11, 11, 158	off 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR )
249		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> CC )
250	248, 160, 249	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> CC )
251	250	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> CC )
252	251, 164	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
253	247	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
254		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F o. X ) : A --> RR /\ A e. Fin ) -> ( F o. X ) e. _V )
255	253, 167, 254	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F o. X ) e. _V )
256		offres 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T e. _V /\ ( F o. X ) e. _V ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( ( F o. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
257	169, 255, 256	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( ( F o. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
258	257	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) = ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( ( F o. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) )
259		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F o. X ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( F o. X ) : A --> CC )
260	253, 160, 259	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F o. X ) : A --> CC )
261	260, 164	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( F o. X ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
262	208, 210, 179, 261, 147, 215	suppssof1 7328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( ( F o. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) C_ { c } )
263	258, 262	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
264	142, 17, 144, 147, 151, 252, 263	gsumpt 18361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
265		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) ` c ) )
266	151, 265	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) ` c ) )
267		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F : D --> RR -> F Fn D )
268	92, 267	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> F Fn D )
269		fnfco 6069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F Fn D /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) Fn A )
270	268, 99, 269	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( F o. X ) Fn A )
271	270	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F o. X ) Fn A )
272		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T Fn A /\ ( F o. X ) Fn A ) /\ ( A e. Fin /\ c e. A ) ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( ( F o. X ) ` c ) ) )
273	221, 271, 167, 224, 272	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( ( F o. X ) ` c ) ) )
274		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X : A --> D /\ c e. A ) -> ( ( F o. X ) ` c ) = ( F ` ( X ` c ) ) )
275	170, 224, 274	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( F o. X ) ` c ) = ( F ` ( X ` c ) ) )
276	275	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T ` c ) x. ( ( F o. X ) ` c ) ) = ( ( T ` c ) x. ( F ` ( X ` c ) ) ) )
277	273, 276	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( F ` ( X ` c ) ) ) )
278	264, 266, 277	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T ` c ) x. ( F ` ( X ` c ) ) ) )
279	278, 231	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( ( ( T ` c ) x. ( F ` ( X ` c ) ) ) / ( T ` c ) ) )
280	243	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` ( X ` c ) ) e. CC )
281	280, 234, 237	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T ` c ) x. ( F ` ( X ` c ) ) ) / ( T ` c ) ) = ( F ` ( X ` c ) ) )
282	279, 281	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( F ` ( X ` c ) ) )
283	244, 245, 282	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
284	241, 283, 138	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
285	284	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
286	122	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
287	121, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
288		leloe 10124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) <-> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) \/ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
289	81, 124, 288	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) <-> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) \/ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
290	287, 289	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) \/ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
291	141, 285, 290	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
292	88, 291	embantd 59	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( ( k C_ A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
293	86, 292	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
294	293	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. c e. k ) -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) )
295	294	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. c e. k ) -> ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) )
296	295	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( -. c e. k -> ( ph -> ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
297	296	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( k e. Fin /\ -. c e. k ) -> ( ph -> ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
298	297	a2d 29	. . . . . 6 |- ( ( k e. Fin /\ -. c e. k ) -> ( ( ph -> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ph -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
299	32, 48, 64, 80, 85, 298	findcard2s 8201	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) )
300	11, 299	mpcom 38	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) )
301	10, 300	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } )
302		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( ( T oF x. X ) : A --> RR -> ( T oF x. X ) Fn A )
303	159, 302	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T oF x. X ) Fn A )
304		fnresdm 6000	. . . . . 6 |- ( ( T oF x. X ) Fn A -> ( ( T oF x. X ) |` A ) = ( T oF x. X ) )
305	303, 304	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` A ) = ( T oF x. X ) )
306	305	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) = (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) )
307	306, 7	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) )
308	4, 270, 11, 11, 158	offn 6908	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) Fn A )
309		fnresdm 6000	. . . . . . . 8 |- ( ( T oF x. ( F o. X ) ) Fn A -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) = ( T oF x. ( F o. X ) ) )
310	308, 309	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) = ( T oF x. ( F o. X ) ) )
311	310	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) = (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) )
312	311, 7	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) )
313	312	breq2d 4665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )
314	313	rabbidv 3189	. . 3 |- ( ph -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) } )
315	301, 307, 314	3eltr3d 2715	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) } )
316		fveq2 6191	. . . 4 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )
317	316	breq1d 4663	. . 3 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )
318	317	elrab 3363	. 2 |- ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )
319	315, 318	sylib 208	1 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-refld 19951

This theorem is referenced by:  amgmlem  24716  amgmwlem  42548